【题解】CF741C 二分图染色

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考虑按下面的策略构造一张二分图：

对于点 \(2x\) 连一条无向边 \(2x-1\) ，对该类边称为 “一类边”，所有 “一类边”构成的边集集合为 \(E_1\) 。

对于一对情侣 \(x,y\) 连一条无向边 \((x,y)\) 对该类边称为 “二类边”，所有 “二类边”构成的边集集合为 \(E_2\) 。

令点集 \(V = \{x | 1\le x\le 2\times n,x\in Z\}\) 。

对图 \(G=(V,E_1\bigcup E_2)\) 进行二分图染色，对于任意一种合法的二分图染色方案其一定是满足要求的，并且这样建图保证图一定是二分图。

证明：

首先，有一个关键性质：对于任意一个点，其度数一定是小于等于二的（因为一个点至多连一条“一类边”和一条“二类边”）。

因此对于每个连通块，一定是简单环或者链。

那么我们证明这个图是二分图即证明图中所有的简单环都是偶数环。

考虑图 \(G_1=(V,E_1)\) ，通过 “加边” 将图 \(G_1\) “改造” 成图 \(G\) 。

对于图 \(G_1\) ，若点 \(u,v\) 间存在一条边 \((u,v)\) 我们将其看成一个点 \(x\) （即一个连通块），将添加的 \(E_2\) 集合中的边看成所有这样的点 \(x\) 间的连边。

并且我们发现，所有这诸如这样的点 \(x\) 的度数也一定是不超过 \(2\) 的。

并且可以发现，如果若干个点 \(x\) 不构成环，那么这些点 \(x\) 代表的连通块内的点也构不成环；如果若干个点 \(x\) 构成环，若该环由 \(k\) 个这样的点 \(x\) 构成，那么其相当于有 \(2\times k\) 个点集 \(V\) 内的点构成的环，因此 “新图”的任意一个环，一定是偶环。

由此可证，图 \(G=(V,E1\bigcup E2)\) 一定是二分图。

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