数学知识点

这篇文章主要是整理一些定理，方便后面复习。没有证明(学OI要什么证明)。

数论相关

常见的积性函数

单位函数

\[\epsilon(n)=[n=1] \]

欧拉函数

\[\varphi(n)=n\sum(1-\frac{1}{p_i}) \]

表示小于等于n的数字中与n互质的数字个数。

莫比乌斯函数

\[\mu(x)=\begin{cases}1 &(x=1)\\ (-1)^k & x=p_1p_2...p_k\\ 0 & else\end{cases}\]

正因子数

\[d(n)=\sum\limits_{i|n}1 \]

因子函数

\[\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k \]

易知\(\sigma_0(n)=d(n)\)
\(\sigma_1(n)\)一般记作\(\sigma(n)\)

常值函数

\[1(n)=1 \]

幂函数

\[Id_k(n)=n^k \]

特别的，\(Id_1(n)\)常记作\(Id(n)\)

狄利克雷卷积

对于两个数论函数\(f\)，\(g\)

\[f*g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

其中*为狄利克雷卷积的运算符号。如果f和g为积性函数，那么\(f*g\)也为积性函数。

性质

1.对于任意的数论函数f有

\[f*\epsilon=f \]

2.$$Id = 1*\varphi$$

3.$$\epsilon=1*\mu$$

4.$$\sigma_k=1*Id_k$$

莫比乌斯反演

如果\(g=f*1\)

那么有\(f=f*\epsilon=f*1*\mu=g*\mu\)

莫比乌斯反演常用卷积：\(\mu*1=\epsilon,Id=1*\varphi\)

约数个数定理

\(n=\prod p_i^{k_i}\Rightarrow\sigma(n) = \sum\limits_{d|n}1=\prod (k_i+1)\)

证明：其实很显然，只要枚举每种质因子的出现在约数中的个数就能得到所有的约数。对于在\(n\)里出现了\(k\)次的质因子，在约数里面有\(k+1\)中选择，即选\(0,1,2...k\)个。

拉格朗日插值

拉格朗日插值可以在给定n个点的情况下，在\(O(n^2)\)复杂度内找到原多项式在\(k\)位置的取值。

\[f(k)=\sum\limits_{i=0}^n y_i\prod\limits_{j\neq i}\frac{k-x_j}{x_i-x_j} \]

中国剩余定理

对于一个同余方程组\(\begin{cases}x \equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ \cdots\\ x\equiv a_n(mod\ m_n)\end{cases}\)。如果满足\(m_1,m_2...m_n\)两两互质。

那么就有\(x\equiv\sum\limits_{i=1}^na_i\frac{M}{a_i}(\frac{M}{a_i})^{-1}_{m_i}(mod\ M)\)。

其中\(M=\prod\limits_{i=1}^na_i\)

组合相关

二项式定理

\[(a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i} \]

广义二项式定理:

\[\frac{1}{(1-x)^n}=\sum\limits_{k>0}C_{n+k-1}^k x^k \]

多项式相关

\[\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+... \]

\[\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6+... \]

\[\frac{1}{1-x^k}=1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+... \]

\[\frac{1}{1-kx}=1+kx+k^2x^2+k^3x^3+... \]

\[\frac{2}{1-x}=2+2x+2x^2+2x^3+... \]

\[\frac{x^k}{1-x}=x^{k}+x^{k + 1} + x^{k+2}+... \]

由1式求导得\(\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+...\)

由上式求导得\(\frac{2}{(1-x)^3}=2+6x+12x^2+20x^3+...\)

其他小知识点

\(\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}{x}\rfloor=\lfloor\frac{n}{ix}\rfloor\)

\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=\sum\limits_{i=1}^nd(i)\)