Noip2018Day1T3 赛道修建

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problem

给出一棵有边权的树。一条链的权值定义为该链所经过的边的边权值和。需要选出\(m\)条链，求\(m\)条链中权值最小的链的权值最大是多少。

solution

首先显然二分。

然后考虑如何判断二分出来的一个答案\(x\)是否是可行的。也就是能否选出\(m\)条链，每条链权值都大于等于\(x\)。这个其实是贪心。

定义直链为从一个某个点的祖先到该点的路径。

可以发现每条链要么就是一条直链，要么由两条直链在某个点处合并起来得到。

贪心的地方在于，对于每个点肯定都是优先将能合成的直链合成。然后再保证向上传递的直链长度最大。因为即便向上传递的长度特别大，产生的贡献也做多只能是\(1\)。所以要先保证在当前子树上合成最多的链。

然后问题就变成了在一棵子树内得到一些直链长度。现在把这些直链两两合并成权值大于等于\(x\)的链。然后保证剩下的直链长度最大。

这里可以二分答案一下。也可以用个\(multiset\)处理。反正是很可做的一个问题。

代码中有各档部分分,BF5为正解

code

#include<set>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100010;
ll read() {
	ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = x * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return x * f;
}
int n,m;
struct node {
	int v,nxt,w;
}e[N << 1];
int head[N],ejs;
void add(int u,int v,int w) {
	e[++ejs].v = v;e[ejs].nxt = head[u];head[u] = ejs;e[ejs].w = w;
}
namespace BF1 {
	int dis[N];
	void dfs(int u,int fa) {
		for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].v;
			if(v == fa) continue;
			dis[v] = dis[u] + e[i].w;
			dfs(v,u);
		}
	}
	void main() {
		dfs(1,0);
		int x = 0;
		for(int i = 1;i <= n;++i) if(dis[i] > dis[x]) x = i;
//		cout<<x<<endl;
		memset(dis,0,sizeof(dis));
		dfs(x,0);
		int ans = 0;
		for(int i = 1;i <= n;++i) ans = max(ans,dis[i]);
		cout<<ans;
	}
}

namespace BF2 {
	int a[N],cnt;
	int check(int x) {
		int p = 1,ret = 0;
		for(int i = cnt;i > p;--i) {
			if(a[i] > x && i > p) {ret++;continue;}
			while(a[p] + a[i] < x && p < i) ++p;
			if(p < i) ret++,p++;
			else break;
		}
		return ret;
	}
	void main() {
		int l = 100000,r = 0;
		for(int i = 1;i <= ejs;i += 2) a[++cnt] = e[i].w,l = min(l,a[cnt]),r += a[cnt];
		sort(a + 1,a + cnt + 1);

		int ans = 0;
		while(l <= r) {
			int mid = (l + r) >> 1;
			if(check(mid) >= m) ans = mid,l = mid + 1;
			else r = mid - 1;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
}
int du[N];
namespace BF3 {
	
	int a[N],cnt;
	void dfs(int u,int fa) {
		for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].v;
			if(v == fa) continue;
			a[++cnt] = e[i].w;
			dfs(v,u);
		}
	}
	int check(int x) {
		int now = 0,ret = 0;
		for(int i = 1;i <= cnt;++i) {
			now += a[i];
			if(now >= x) now = 0,ret ++;
		}
		return ret;
	}
	void main() {
		for(int i = 1;i <= n;++i) 
			if(du[i] == 1) {dfs(i,0);break;}
		int l = 1000000,r = 0;
		for(int i = 1;i <= ejs;i += 2) {
			l = min(l,e[i].w);r += e[i].w;
		}
		
		int ans = 0;
		while(l <= r) {
			int mid = (l + r) >> 1;
			if(check(mid) >= m) ans = mid,l = mid + 1;
			else r = mid - 1;
		}
		cout<<ans<<endl;
		
	}

}
int L = 100000,R;
namespace BF5 {
	int ANS;
	int dfs(int u,int fa,int x) {
		multiset<int>s;
		int ret = 0;
//		if(!s.empty()) printf("%d\n",u);
		for(int i = head[u];i;i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].v;
			if(v == fa) continue;
			int k = dfs(v,u,x);
			if(k + e[i].w >= x) ANS++;
			else s.insert(k + e[i].w);
		}
		while(!s.empty()) {
			multiset<int>::iterator it = s.begin();
			int k = *it;
			s.erase(it);
			multiset<int>::iterator is = s.lower_bound(x - k);
			if(is == s.end()) ret = max(ret,k);
			else ANS++,s.erase(is);
		}
//		s.clear();
		
//		printf("%d %d\n",u,ret);

		return ret;
	}
	void main() {
		int l = L,r = R,ans = 0;
		
		while(l <= r) {

			int mid =(l + r) >> 1;
			ANS = 0;dfs(1,0,mid);
			if(ANS >= m) ans = mid,l = mid + 1;
			else r = mid - 1;
		}
		cout<<ans;
	}
}
int main() {
	n = read(),m = read();
	int bz1 = 1,bz2 = 1;
	for(int i = 1;i < n;++i) {
		int u = read(),v = read(),w = read();
		L = min(L,w);R += w;	
		du[u]++;du[v]++;
	
		add(u,v,w);add(v,u,w);
		if(u != 1) bz1 = 0;
		if(v != u + 1) bz2 = 0;
	}
	
	if(m == 1) {BF1::main();return 0;}
	if(bz1) {BF2::main();return 0;}
	if(bz2) {BF3::main();return 0;}
	BF5::main();
	return 0;
}
/*
7 1
1 2 10
1 3 5
2 4 9
2 5 8
3 6 6
3 7 7
*/