luogu1758 [NOI2009]管道取珠

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solution

我们可以将问题转化为进行两次游戏，最终输出的序列相同的方案数。

为什么可以这么转化呢？我们尝试用式子表示这个新问题，对于一种序列\(i\)，如果在一次游戏中取到他的方案数为\(a_i\)，那么根据乘法原理，在两次游戏中都取到他的方案数就是\(a_i^2\)，那么所有可能序列的方案数之和自然就是\(\sum a_i^2\)了。

那这个问题怎么做呢？我们设状态\(f[i][j][k][t]\)表示在第一次游戏中第一个序列还剩下了\(i\)个球，第二个序列还剩下\(j\)个求，在第二次游戏中第一个序列还剩下\(k\)个球，第二个序列还剩下\(t\)个求的方案数。
最后的答案自然就是\(f[n][m][n][m]\)。

然后考虑转移，对于状态\(f[i][j][k][t]\)，我没枚举在每次游戏中最后加入的一个球。然后就可以得到转移方程如下:

f[i][j][k][t]=f[i-1][j][k-1][t] + f[i-1][j][k][t-1]+f[i][j-1][k - 1][t]+f[i][j-1][k][t-1]

根据状态的定义我们可以知道肯定满足\(i+j=k+t\)。所以我们只需要枚举\(i,j,k\)这三维就可以算出第4维，不需要枚举第四维。时空复杂度为\(O(n^3)\)。

时间没问题，但空间会爆炸。所以将第一维滚动一下即可。

code

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2020-05-28 14:57:30
* @Last Modified time: 2020-05-28 16:07:27
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 510,mod = 1024523;
ll read() {
	ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') f = -1; c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
	}
	return x * f;
}
int f[2][N][N];
char s[N],t[N];
int main() {
	int n = read(),m = read();
	scanf("%s",s + 1);
	scanf("%s",t + 1);

	f[0][0][0] = 1;
	for(int i = 0;i <= n;++i) {
		int tmp = i & 1;
		for(int j = 0;j <= m;++j) {
			for(int k = 0;k <= min(n,i + j);++k) {
				if(!i && !j && !k) {f[tmp][j][k] = 1;continue;}
				f[tmp][j][k] =  0;
				int tt = i + j - k;
				if(i && k && s[i] == s[k]) {
					f[tmp][j][k] += f[tmp ^ 1][j][k - 1];
					f[tmp][j][k] >= mod ? f[tmp][j][k] -= mod : 0;
				}
				if(i && tt && s[i] == t[tt]) {
					f[tmp][j][k] += f[tmp ^ 1][j][k];
					f[tmp][j][k] >= mod ? f[tmp][j][k] -= mod : 0;
				}
				if(j && k && t[j] == s[k]) {
					f[tmp][j][k] += f[tmp][j - 1][k - 1];
					f[tmp][j][k] >= mod ? f[tmp][j][k] -= mod : 0;
				}
				if(j && tt && t[j] == t[tt]) {
					f[tmp][j][k] += f[tmp][j - 1][k];
					f[tmp][j][k] >= mod ? f[tmp][j][k] -= mod : 0;
				}
			}
		}
	}

	cout<<f[n & 1][m][n]<<endl;
	return 0;
}