快速沃尔什变换小记
概述
\(FWT\)是用来处理集合卷积的问题。也就是求解\(f(n)\sum\limits_{i|j=n}f(i)f(j)\)类型的问题。其中或运算可以改为\(\otimes,\&\)。
寻找点值
因为总是看不下去那么长的推导，所以每次都是看到一半。然后就在加上自己的一点理解，简单推导一下吧（背过结论就行）
以或运算为例。为什么说是集合卷积呢。因为或运算等价于求集合并。也就是求\(f(n)\sum\limits_{i\cup j=n}f_1(i)f_2(j)\) 。
那么我们类似于\(FFT\)，先将他转化为点值，然后进行乘法运算后，在转换回来。
如何转化为点值呢。或者说他的点值长什么样子呢。
我们求一个\(g(n)=\sum\limits_{s\subseteq n}f(n)\)。然后我们求一下\(g(n)\)的乘积。
我们令\(g_1\)表示\(f_1\)转化后的结果，\(g_2\)表示\(f_2\)转化或的结果，\(g\)表示卷积\(f\)转化后的结果。
也就是\(g_1(n)g_2(n)=\sum\limits_{s_1\subseteq n}f_1(s_1)\sum\limits_{s_2\subseteq n}f_2(s_2)=\sum\limits_{s_1,s2\subseteq n}f_1(s_1)f_2(s_2)=\sum\limits_{s_1\cup s_2\subseteq n}f_1(s_1)f_2(s_2)=g(n)\)
所以\(g(n)=\sum\limits_{s\subseteq n}f(n)\)就是我们要的点值表达式！
相互转化
有了点值之后我们还需要在点值与多项式之间相互转化，那么应该怎么转化呢。
其实很简单，观察\(g(n)=\sum\limits_{s\subseteq n}f(n)\)。这个式子，其实就是一个高维前缀和嘛。。
然后转化回去同样的来个高维差分就ok了。
高维前缀和代码如下:
void fwt_or(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i)
for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
if(!((j >> i) & 1))
a[j | (1 << i)] += a[j];
}
对于另外两种运算
对于\(\otimes\)和\(\&\)。与\(|\)类似，也有不同之处。因为\(\&\)表示的是集合交，所以他是枚举超集和而不是子集和。
至于\(\otimes\)，背板子吧我也不会推导啊qwq
板子
板子里面，\(xs=1\)时表示\(FWT\)，即将多项式转化为点值。\(xs=-1\)时表示\(IFWT\)，即将点值转化回多项式。
或运算
void fwt_or(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i)
for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
if(!((j >> i) & 1))
a[j | (1 << i)] += xs * a[j];
}
and运算
void fwt_and(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i)
for(int j = 0;j < (1 << n);++j)
if(!((j >> i) & 1))
a[j] += xs * a[j | (1 << i)];
}
异或运算
void fwt_xor(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i) {
for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
if(!((j >> i) & 1)) {
int l = a[j],r = a[j | (1 << i)];
a[j] = l + r;a[j] %= mod;
a[j | (1 << i)] = l - r;a[j | (1 << i)] %= mod;
}
}
}
if(xs == -1) {
int inv = qm(1 << n,mod - 2);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i)
a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
}
}
小技巧
在很多题目中，需要进行多次\(FWT\)运算，我们不需要每次将数组来回转化，只要先将多项式转化为点值，然后对点值进行快速幂运算，最后在转化回去就行。
模板题
/*
* @Author: wxyww
* @Date: 2020-04-26 08:03:27
* @Last Modified time: 2020-04-26 08:43:59
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1 << 20,mod = 998244353;
ll read() {
ll x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') {
if(c == '-') f = -1; c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();
}
return x * f;
}
int A[N],B[N],n;
void fwt_and(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i) {
for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
if(!((j >> i) & 1)) {
a[j] += xs * a[j | (1 << i)];
a[j] %= mod;
}
}
}
}
void fwt_or(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i) {
for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
if(!((j >> i) & 1)) {
a[j | (1 << i)] += xs * a[j];
a[j | (1 << i)] %= mod;
}
}
}
}
ll qm(ll x,ll y) {
ll ret = 1;
for(;y;y >>= 1,x = x * x % mod)
if(y & 1) ret = ret * x % mod;
return ret;
}
void fwt_xor(int *a,int xs) {
for(int i = 0;i < n;++i) {
for(int j = 0;j < (1 << n);++j) {
if(!((j >> i) & 1)) {
int l = a[j],r = a[j | (1 << i)];
a[j] = l + r;a[j] %= mod;
a[j | (1 << i)] = l - r;a[j | (1 << i)] %= mod;
}
}
}
if(xs == -1) {
int inv = qm(1 << n,mod - 2);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) {
a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
}
}
}
int tmp1[N],tmp2[N];
int main() {
n = read();
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) A[i] = read();
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) B[i] = read();
memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
fwt_or(tmp1,1);fwt_or(tmp2,1);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
fwt_or(tmp1,-1);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");
memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
fwt_and(tmp1,1);fwt_and(tmp2,1);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
fwt_and(tmp1,-1);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");
memcpy(tmp1,A,sizeof(tmp1));
memcpy(tmp2,B,sizeof(tmp2));
fwt_xor(tmp1,1);fwt_xor(tmp2,1);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) tmp1[i] = 1ll * tmp1[i] * tmp2[i] % mod;
fwt_xor(tmp1,-1);
for(int i = 0;i < (1 << n);++i) printf("%d ",(tmp1[i] + mod) % mod);puts("");
return 0;
}
