LCA

LCA

LCA（Lowest CommonAncestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先

一般采用倍增的方法来求最近公共祖先。还可以用树链剖分。dfs序似乎也可以

思路

用数组fa[i][j]表示从i往上跳2^j步所得到的祖先。用dep[i]表示i的深度。然后每次往上跳即可。假如说求x和y的LCA那就先把x的深度跳到与y相同，然后不断往上跳，直到x的father与y的father相同时返回他们的父亲即可。

代码

用一遍dfs预处理出fa数组，和st表的思路相同f[k][i]=f[f[k][i-1]][i-1]

void dfs(int u,int fath)
{
	dep[u]=dep[fath]+1;
	fa[u][0]=fath;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];++i)
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].v!=fath)
			dfs(e[i].v,u);
}

为了减小常数，方便以后利用，先预处理出log数组

	for(int i=2;i<=n+500;++i)
		lg[i]=lg[i/2]+1;

然后不断往上跳求LCA即可,这中往上跳2的次方次的，根据其二进制来挑是比较好想的。在就是要先跳大步，再跳小步

int lca(int a,int b)
{
	if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	while(dep[a]!=dep[b])
		a=fa[a][lg[dep[a]-dep[b]]];
	if(a==b) return a;
	for(int k=lg[dep[a]];k>=0;--k)
		if(fa[a][k]!=fa[b][k])
			a=fa[a][k],b=fa[b][k];
	return fa[a][0];
}

例题

luogu3379

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=500000+100;
struct node
{
	int v,nxt;
}e[N*2];
int ejs,head[N],fa[N][100];
void add(int u,int v)
{
	e[++ejs].v=v;e[ejs].nxt=head[u];head[u]=ejs;
}
int lg[N],n,m,s,dep[N];
void dfs(int u,int fath)
{
	dep[u]=dep[fath]+1;
	fa[u][0]=fath;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];++i)
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].v!=fath)
			dfs(e[i].v,u);
}
int lca(int a,int b)
{
	if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	while(dep[a]!=dep[b])
		a=fa[a][lg[dep[a]-dep[b]]];
	if(a==b) return a;
	for(int k=lg[dep[a]];k>=0;--k)
		if(fa[a][k]!=fa[b][k])
			a=fa[a][k],b=fa[b][k];
	return fa[a][0];
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for(int i=2;i<=n+500;++i)
		lg[i]=lg[i/2]+1;
	dfs(s,0);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",lca(x,y));
	}
	return 0;
}