[题解] [NOIP 2010] 引水入城

题目描述#

有一个 \(n \times m\) 的矩阵，每一点的高度是 \(h_{i,j}\) 。矩阵的最下面一行是 \(m\) 个城市，现在要在第一行建水站为这些城市供水，水站建好后水可以从水站往别的点引水，只能从高处引向相邻的低处，如果一个城市存在可以给他引水的水站，则这个城市可以被供水。

问是否存在能给所有城市供水的水站？如果存在，最少建几个水站可以给所有城市供水？如果不存在，有几个城市无法被供水？

输入格式#

第一行两个正整数 \(n,m(1 \leq n,m \leq 500)\) ，表示矩阵大小。

接下来的 \(n\) 行，每行 \(m\) 个正整数，表示每个点的高度 \(h_{i,j}\)。

输出格式#

两行，第一行一个整数， \(0\) 表示不存在能够给所有城市供水的方案; \(1\) 表示存在方案。

第二行一个整数，如果存在方案表示最少建的水站数量;如果不存在表示有几个城市无法被供水。

题解#

不难得出结论：所有水站能够覆盖的城市都是连续的。因此，我们可以求出每个水站可以覆盖的城市区间，再求解线段覆盖问题即可。

对于求每个水站的覆盖区间，考虑搜索。但如果每个水站都进行一次搜索，时间复杂度是 \(O(n^3)\) ，无法通过此题。考虑优化。对于每一个点来说，它能覆盖的城市区间是固定的，不会受位置以外的因素影响。因此我们可以进行记忆化搜索，在搜索的过程中记录每一个点能够覆盖的区间，如果下一个点已经搜索过了，则直接调用它之前搜索的数据，否则就搜索那个点即可。在搜索的过程中，一个点能覆盖的范围是它能到达的所有的点的并集，即 \(l\) 取最小值、 \(r\) 取最大值。

如此就转换成了有 \(m\) 条线段的线段覆盖问题。采用贪心解决。从左往右选择线段进行覆盖，每次选择左端点在 \([1,r_{maxnow} + 1]\) （其中， \(r_{maxnow}\) 表示已选取的线段的右端点最大值）的区间内，右端点最大的线段，直到覆盖了最右边的点即可。

AC 代码#

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN = 503;

int n, m;
int h[MAXN][MAXN];

bool vis[MAXN][MAXN];
int l[MAXN][MAXN], r[MAXN][MAXN];
void dfs(int x, int y) {
    vis[x][y] = true;
    int xn[4] = {0, 0, 1, -1}, yn[4] = {1, -1, 0, 0};
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int nx = xn[i] + x, ny = yn[i] + y;
        if (h[nx][ny] < h[x][y] && nx > 0 && ny > 0 && nx <= n && ny <= m) {
            if (!vis[nx][ny]) dfs(nx, ny);
            l[x][y] = min(l[x][y], l[nx][ny]);
            r[x][y] = max(r[x][y], r[nx][ny]);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            l[i][j] = r[i][j] = j;
            cin >> h[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) dfs(1, i);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (!vis[n][i]) cnt++;
    }
    if (cnt) {
        cout << "0\n" << cnt << '\n';
    } else {
        // 线段覆盖
        int limit = 1; // 可以选取的左端点最大值
        while (limit <= m) {
            int maxr = 0;
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                if (l[1][i] <= limit) {
                    maxr = max(maxr, r[1][i]);
                }
            }
            cnt++;
            limit = maxr + 1;
        }
        cout << "1\n" << cnt << '\n';
    }
    return 0;
}