[洛谷P1429] 平面最近点对（加强版）

题目描述#

给定平面上的 $n$ 个点，求其中距离最小的两个点之间的距离。

输入格式#

第一行： $n$ ，保证 $2 \leq n \leq 200000$ 。

接下来 $n$ 行，每行两个实数: $x, y$ ，表示一个点的横坐标和纵坐标，中间用一个空格隔开。

输出格式#

仅一行，一个实数，表示最短距离，精确到小数点后4位。

题解#

如果暴力枚举，则复杂度为 $O (n^{2})$ ，显然无法通过此题。

考虑分治，将点按照横坐标排序编号后二分区间求解。边界条件是两个编号相同的点或者编号相邻的点，都可以方便的得到它们的距离。问题的关键是合并两个区间时如何计算跨区间的点之间的距离。所谓跨区间，实际上是分布在分割线两侧的点，即 $x_{i} < x_{m i d}$ 的点和 $x_{i} > x_{m i d}$ 的点。两两枚举的时间复杂度显然是不行的。

考虑优化。优化的核心是减少枚举次数，即根据一定条件过滤不必要的枚举。因此我们加入枚举条件：假设两个区间内部的最优解是 $d$ 只枚举距离分割线小于 $d$ 的部分即可。但这样的时间复杂度依然不够优，因此需要考虑进一步优化。再加入枚举条件：只计算纵坐标相差小于 $d$ 的点。可以通过将符合条件的点按照纵坐标排序实现。

如此便可解决此题～

题外话#

因为觉得调用sqrt会变慢，我一开始在分治的递归里只算了模没算距离，结果一直两个点TLE，调了半天发现把sqrt放到算模数的那里就行了，可能是double的大数运算太慢了吧... ？

AC代码#

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <stack>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 3;
int n;

class Point {
public:
    double x, y;
} p[MAXN];

inline double getDis(Point a, Point b) {
    return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

bool cmpX(Point a, Point b) {return a.x < b.x;}
bool cmpY(Point a, Point b) {return a.y > b.y;}

Point tmp[MAXN];
double solve(int l, int r) {
    if (r - l == 1) return getDis(p[l], p[r]);
    int mid = (l + r) >> 1;
    double ans = min(solve(l, mid), solve(mid, r));
    double midx = p[mid].x;
    int cnt = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        if (abs(p[i].x - midx) <= ans) {
            tmp[++cnt] = p[i];
        }
    }
    sort(tmp + 1, tmp + 1 + cnt, cmpY);
    for (int i = 1; i < cnt; i++) {
        for (int j = i + 1; j <= cnt && tmp[i].y - tmp[j].y < ans; j++) {
            ans = min(ans, getDis(tmp[i], tmp[j]));
        }
    }
    return ans;
}

signed main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> p[i].x >> p[i].y;
    }
    sort(p + 1, p + 1 + n, cmpX);
    cout << fixed << setprecision(4) << solve(1, n);
    return 0;
}