《离散数学》遗忘要点

第1章 命题逻辑

1.1命题符号化及联结词

1.能判断真假的陈述句（"！"、"？"祈使句等都不是）为命题。

判断条件一：是不是陈述句；条件二：真值是否唯一。

a）“x+y>5”不是命题。既可以为真，也可以为假，没有真值

b）“存在地球外的星球上也有生命”是命题。他的真值是唯一的，知识人们还不知道而已，但其真值终将知道

2.不能分解成更简单的句子的命题为简单命题或原子命题，用小写的英文字母p,q,r...表示。

a）简单命题的真值的确定的，因而又称为命题常项或命题常元。

b）x+y>5不是命题，但当给定x与y的值后，它的真值也就确定下来了，这种真值可以变化的简单陈述句称为命题变项或命题变元。命题变项不是命题。

3.简单命题由联结词(也称真值联结词，逻辑联结词)联结而成的命题，称为复合命题。

a）5种常用联结词的符号表示¬、Λ、V、→、↔ 

b）Λ在自然语言中表达为：“既...又...”，“不仅...而且...”，“虽然...但是...”，“不是...而是...”。V在自然语言中的表达为“或”。

c）设p：“派小王去开会"，q： “派小李去开会”，那么“派小王或小李去开会”为(pΛ¬q)V(¬pΛq)，或(pVq)Λ¬(pΛq)

d）→在自然语言中的表达为：“只要...就...”/“除非...否则...”（充分条件），“p仅当q”，“只有...才”/“如果...就...”（必要条件）

e）↔ 在自然语言中的表达为：“当且仅当”

4.命题符号化

a）“小王现在在宿舍或在图书馆里”，在宿舍和在图书馆里不可能同时发生，故pVq

b）“选小王或小李中的一人当班长”，选小王和选小李可能同时发生，故(pΛ¬q)V(¬pΛq)

5.优先级顺序：¬、Λ、V、→、↔ 

1.2命题公式及分类

1.命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串。简称公式

a）1可以看成某个恒取1的公式(pV¬p)的缩写，0可以看成某个恒取0(pΛ¬p)的公式的缩写

b）A称为0层公式，若A=右式(¬、Λ、V、→、↔ )，A比右式B、C中的最大层高一层

2.永真式（重言式）、永假式（矛盾式）、可满足式

3.n个命题变项，共有2ⁿ个可能的赋值，可以形成2^{2^n}个不同的真值函数

1.3等值演算

1.判断A与B是否等值等价于判断A、B的真值表是否相同

2.重要的等值式：

                                                 

3.通过等值演算判断公式类型

1.4范式

1.仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式；

仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式；

2.通过等值演算求析取范式的步骤：

                                                              

3.在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，这样的简单合取式称为极小项。

主析取范式	极小项(简单合取式)	二进制数(成真赋值)	记作	编码形式
(¬pΛ¬qΛ¬r)V(¬pΛ¬qΛ¬r)V(¬pΛ¬qΛ¬r)	¬pΛ¬qΛ¬r	000	m0	Σ(0,1,2)
	¬pΛ¬qΛr	001	m1
	¬pΛqΛ¬r	010	m2
主合取范式	极大项(简单析取式)	二进制数(成假赋值)	记作	编码形式
			M	Π(3,4,5,6,7)

p<=>(pΛ¬q)V(pΛq)

1.5联结词全功能集

1.p↑q<=>¬(pΛq)，p与q的否定，↑称作与非联结词

p↓q<=>¬(pVq)，p或q的否定，↓称作或非联结词

1.6组合电路

1.7推理理论

1.等值演算法，真值表法，构造证明法

a）附加前提证明法

第2章 一阶逻辑 

2.1一阶逻辑基本概念

1.个体变项x,y具有关系L，记作L(x,y)

2.通常来讲，谓词P（x₁,x₂,...,x_n）不是命题，必须制定某一谓词常项代替P，同时用n个个体常项代替n个个体变项。

0元谓词常项都是命题

3.一阶逻辑转换为命题逻辑

2.2一阶逻辑合式公式及解释

1.合式公式，简称公式¬、Λ、V、→、↔ 和全称量词、特称量词的组合

2.换名规则：将一个指导变项及其在辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号

3.解释：给定个体域D、给个体常项一个D中的元素、给函数变项一个D上的函数、给谓词变项一个D上的谓词

4.逻辑有效式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式

5.代换实例

6.若公式A中无自由出现的个体变项，则称A是封闭的合式公式，简称闭式

2.3一阶逻辑等值式和前束范式

1.量词否定的等值式

2.量词辖域收缩与扩张等值式

当A与闭式形成析取、合取关系时，量词辖域可以收缩或者扩张，当形成蕴含关系时，A(X)→B要改量词

3.量词分配等值式

任意对合取，存在对析取，存在分配等值式

4.证明等值式

a）消去量词，化成命题逻辑

b）等值演算

c）解释

5.求前束范式可能用到的定理

换名规则、辖域的收缩或扩张、否定后移改量词、分配等值式

第3章 集合论

3.1集合的基本概念

1.幂集：A的全体子集构成的集合

3.2集合的基本运算

1.交集、并集、相对补集、绝对补集~A（对全集的相对补集）、对称差

2.集合相等的证明

a）取任意x

b）等值演算A-B=A∩~B

3.3集合中元素的计数

1.基数：集合中所含元素的多少。card A、|A|

2.包含排斥原理

第4章 二元关系

4.1集合的笛卡儿积与二元关系

4.2关系的运算

4.3关系的性质

4.4关系的闭包

4.5等价关系和偏序关系

4.6函数的定义和性质

4.7函数的复合和反函数

第5章 图的基本概念

5.1无向图及有向图

1.无向图、有向图

2.n阶图：有n个顶点的图

零图：没有一条边的图

一阶零图：即只有一个顶点、没有边的图，称为平凡图

3.点与边之间的关系：关联。关联次数：1，2（环），0（不关联）

4.点与点之间的关系：相邻的（无向图），邻接到（有向图）

5.边与边之间的关系：相邻

6.在无向图中，顶点v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称度。入度、出度（有向图）

称度数为1的顶点为悬挂顶点，它所关联的边为悬挂边

7.握手定理

推论：任何图中，度数为奇数的顶点个数是偶数

8.度数序列

9.重数：平行边的条数

10.简单图：既不含平行边也不含环

11.n阶无向完全图K_n：G为简单图，其中任何顶点都与其余n-1个顶点相邻。

 

 

5.2通路、回路和图的连通性

5.3图的矩阵表示

5.4最短路径、关键路径和着色

第6章 特殊的图

6.1二部图

6.2欧拉图

6.3哈密顿图

6.4平面图

第7章 树

7.1无向树及生成树

7.2根树及其应用

第9章 代数系统简介

9.1二元运算及其性质

9.2代数系统

9.3几个典型的代数系统　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　·　　　　　　　　　　·