振铃效应(ringing artifacts)

 artifacts    纰漏

 个人总结不一定对:图像复原中损失高频信息的话会产生振铃效应。

 

理想低通滤波器在频率域的形状为矩形,那么其傅立叶逆变换在时间域为sinc函数

图像处理中,对一幅图像进行滤波处理,若选用的频域滤波器具有陡峭的变化,则会使滤波图像产生“振铃”,所谓“振铃”,就是指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡,就好像钟被敲击后产生的空气震荡。如下图:

 

振铃现象产生的本质原因是:

对于辛格函数sinc而言,经过傅里叶变换之后的函数形式为窗函数(理想低通滤波器)形式,用图像表示如下:

图1.左边为矩形窗函数,右边为辛格函数(将左边的空域换成频域,右边频域换成空域)

因此凡具有接近窗函数的滤波器,IFT之后,其空域函数形式多少接近sinc函数。sinc是进行图像滤波的主要因素,两边的余波将对图像产生振铃现象

 

由卷积定理可将下面两种增强联系起来:

频域增强:

空域卷积:

其中f,g,h分别为输入图像,增强图像,空域滤波函数;F,G,H分别为各自的傅里叶变换。*为卷积符号。

在空间域将低通滤波作为卷积过程来理解的关键是h(x,y)的特性:可将h(x,y)分为两部分:原点处的中心部分,中心周围集中的成周期分布的外围部分。前者决定模糊,后者决定振铃现象。若外围部分有明显的震荡,则g(x,y)会出现振铃。利用傅里叶变换,我们发现,若频域滤波函数具有陡峭变化,则傅里叶逆变换得到的空域滤波函数会在外围出现震荡。

下面给出三个常用的低通滤波器:理想型、巴特沃斯型、高斯型

并分析他们对用的空域滤波函数的特点,验证上述结论。

理想型:

理想型滤波会出现振铃,可以看出空域滤波函数图像外围有剧烈震荡。

巴特沃斯型

 

为阶数,1阶巴特沃斯没有“振铃“,随着阶数增大,振铃现象越发明显。下图取n=2,可以看出空域函数外围部分出现震荡。

高斯型:

 

高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数,故高斯型滤波器不会产生“振铃“。

 

上述图像的生成程序:

 

[objc] view plain copy
 
  1. close all;  
  2. clear all;  
  3. d0=8;  
  4. M=60;N=60;  
  5. c1=floor(M/2);       
  6. c2=floor(N/2);        
  7. h1=zeros(M,N);      %理想型  
  8. h2=zeros(M,N);      %巴特沃斯型  
  9. h3=zeros(M,N);      %高斯型  
  10. sigma=4;  
  11. n=4;%巴特沃斯阶数  
  12. for i=1:M  
  13.     for j=1:N  
  14.         d=sqrt((i-c1)^2+(j-c2)^2);  
  15.         if d<=d0  
  16.             h1(i,j)=1;  
  17.         else  
  18.             h1(i,j)=0;  
  19.         end  
  20.         h2(i,j)=1/(1+(d/d0)^(2*n));   
  21.         h3(i,j)=exp(-d^2/(2*sigma^2));   
  22.     end  
  23. end  
  24. draw2(h1,'理想');  
  25. draw2(h2,'巴特沃斯');  
  26. draw2(h3,'高斯');  
  27.   
  28. function draw2(h,name)  
  29. figure;  
  30. surf(h);title(strcat('频域',name));  
  31. fx=abs(ifft2(h));  
  32. fx=fftshift(fx);  
  33. figure;surf(fx);title(strcat('空域',name));  


注:fftshift与ifftshift区别,对偶数行列矩阵相同,奇数相互弥补,组合使之可逆

如何理解振铃效应? - 知乎 https://www.zhihu.com/question/29861707

 图像处理之—振铃现象 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/zk_j1994/article/details/53645044


 

傅立叶变换中的吉布斯现象

 吉布斯(Gibbs)现象:将具有不连续点的周期函数(如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后,选取有限项进行合成。当选取的项数越多,在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时,该峰起值趋于一个常数,大约等于总跳变值的9%。吉布斯现象如下图所示。

                                                       

                                                                              图1 吉布斯现象示意图

        实际上,吉布斯现象最先并不是吉布斯发现的。科学家阿伯特·米切尔森(Albert Michelson)是第一个获得诺贝尔奖的美国人,他以米切尔森-莫利(Michelson-Morley)实验测量光速而闻名于世。但很多人不知道的是,他才是第一个发现吉布斯现象的人。

                                                                      

                                                                                     图2 米切尔森

                                                                         

                                                                                   图3 吉布斯

 
       1898年,米切尔森(Albert Michelson)做了一个谐波分析仪。该仪器可以计算任何一个周期信号x(t)的傅里叶级数截断后的近似式,其中N 可以算到 80。米切尔森用了很多函数来测试它的仪器 ,结果都很好。然而当他测试方波信号时,他得到一个重要的,令他吃惊的结果!他于是根据这一结果而怀疑起他的仪器是否有不完善的地方。他将这一问题写一封信给当时著名的数学物理学家吉布斯 (Josiah Gibbs),吉布斯检查了这一结果,并于1899年在《自然》杂志上发表了他的看法。

  若用x(t)表示原始信号,xN(t)表示有限项傅立叶级数合成所得的信号,米切尔森所观察到的有趣的现象是方波的xN(t)在不连续点附近部分呈现起伏,这个起伏的峰值大小似乎不随 N 增大而下降!吉布斯证明:情况确实是这样,而且也应该是这样。随着N 增加,部分和的起伏就向不连续点压缩,但是对任何有限的 N 值,起伏的峰值大小保持不变 ,这就是吉布斯现象。

  这个现象的含义是:一个不连续信号 x(t) 的傅里叶级数的截断近似 xN(t),一般来说,在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量,而且,若在实际情况下利用这样一个近似式的话,就应该选择足够大的 N ,以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。当然,在极限情况下,近似误差的能量是零,而且一个不连续的信号(如方波)的傅里叶级数表示是收敛的。

 

posted @ 2017-10-19 15:33  ostartech  阅读(23869)  评论(0编辑  收藏  举报