[Agc001E] BBQ Hard

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题目大意

给定\(n\)对正整数\(a_i,b_i\)，求\(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n \binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}\)。

试题分析

显然，后面的式子是一个\(\binom{n+m}{m}\)的形式，也就是我们从位置\((-a_i,-b_i)\)走到位置\((a_j,b_j)\)。
那么我们把式子转化成：$$\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \binom {a_i+b_i+a_j+b_j} {a_i+a_j} - \sum_{i=1}^n \binom{a_i+b_i+a_i+b_i}{a_i+b_i} }{2}$$
然后前面的可以直接dp，后面的直接算就好了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
#define LL long long
 
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int INF=9999999;
const int MAXN=300010;
const int MAXM=2010;
const int Mod = 1e9+7;
 
int N; int a[MAXN+1],b[MAXN+1];
int f[MAXM*2+1][MAXM*2+1];
LL ifac[MAXN+1],fac[MAXN+1],inv[MAXN+1];
int A[MAXN+1],B[MAXN+1];
 
inline LL C(LL n,LL m){
	if(n<m) return 0; if(n==m||!m) return 1;
	return fac[n]*ifac[m]%Mod*ifac[n-m]%Mod;
}
 
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	N=read(); fac[0]=1; inv[1]=1; ifac[1]=ifac[0]=1; LL ans=0;
	for(int i=1;i<=(MAXM<<2)+100;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;
	for(int i=2;i<=(MAXM<<2)+100;i++){
		inv[i]=(Mod-(Mod/i))*inv[Mod%i]%Mod;
		ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%Mod;
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		A[i]=read(),B[i]=read();
		f[MAXM-A[i]][MAXM-B[i]]++;
		ans=(ans-C(A[i]*2+B[i]*2,A[i]*2)%Mod+Mod)%Mod;
	}
	for(int i=1;i<=MAXM*2;i++){
		for(int j=1;j<=MAXM*2;j++){
			(f[i][j]+=f[i-1][j])%=Mod;
			(f[i][j]+=f[i][j-1])%=Mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		(ans+=f[A[i]+MAXM][B[i]+MAXM])%=Mod;
	} printf("%lld\n",ans*inv[2]%Mod);
	return 0;
}