数论算法总结

数论算法总结

费马小定理

\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\space ((a,p)=1,isprime(p))\)

• 证明：Link
  这里给出通用形式：考虑任意正整数\(a\mod p\space ((a,p)=1)\)的剩余系，有\(1,2,3,\ldots ,p-1\)。
  那么我们再取任意正整数\(a'((a',p)=1)\)，将这个剩余系乘上\(a'\)再\(\mod p\)后，剩余系还是\(1,2,\ldots,p-1\)的一个排列。
  将这些数字连乘得到：\(a'^{p-1}\times (p-1)! \equiv (p-1)! \mod p\)，两边同除\((p-1)!\)得到：\(a'^{p-1}\times 1 \equiv 1 \mod p\),将\(a'\)替换为\(a\)即可。
  求逆元就是\(a^{p-2}\times a \equiv 1 \pmod{p}\)。
  注意一切的推导都是在上面的式子条件下的。

欧拉定理

\(a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n} ((a,n)=1)\)

• 容易发现，前面的费马小定理是欧拉定理的儿子定理。
  主要是来补充一下为什么\(a\times x_i \mod n ((a,n)=1,x_i\leq n)\)有\(\phi(n)\)种结果。
  假设\(m_i=a\times x_i\)，那么假设存在\(m_i\equiv m_j \pmod{n} (i\not =j)\)，那么就有：\(a(x_j-x_i)= kn\)，但是由于\((a,n)=1\)，\(x_j-x_i<n\)，所以无论如何都不可能有解。 剩下的证明和上面一样。

拓展欧拉定理

\(a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}~~~~~~~(mod~p)\)

证明：Link

BSGS

给定 \(a,b,p\)，求最小的非负整数\(x\)令\(x\)满足\(a^x \equiv b \pmod{p}\)。

首先有费马小定理可知：\(a^{k\mod (p-1)}\equiv a^k \pmod{p}\)，所以说\(x< p-1\)。
那么我们令\(m=\lceil \sqrt{p} \rceil\) ，\(x=i\times m -j\)，那么有：$$a^{i\times m-j}\equiv b \pmod{p}$$

\[a^{i\times m}\equiv b \times a^j\pmod{p} \]

那么暴力在\(0\to m\)枚举\(j\)，存入Hash表，然后在\(1\to m\)枚举i查询。

Lucas定理

\(\binom{n}{m}=\binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \times \binom{n \mod p}{m\mod p}\)

证明：Link