[BZOJ2819] Nim

[BZOJ2819] Nim

Description

著名游戏设计师vfleaking，最近迷上了Nim。普通的Nim游戏为：两个人进行游戏，N堆石子，每回合可以取其中某一堆的任意多个，可以取完，但不可以不取。谁不能取谁输。这个游戏是有必胜策略的。于是vfleaking决定写一个玩Nim游戏的平台来坑玩家。为了设计漂亮一点的初始局面，vfleaking用以下方式来找灵感：拿出很多石子，把它们聚成一堆一堆的，对每一堆编号1,2,3,4,...n,在堆与堆间连边，没有自环与重边，从任意堆到任意堆都只有唯一一条路径可到达。然后他不停地进行如下操作：1.随机选两个堆v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略，如果有，vfleaking将会考虑将这些石子堆作为初始局面之一，用来坑玩家。2.把堆v中的石子数变为k。由于vfleaking太懒了，他懒得自己动手了。请写个程序帮帮他吧。

Input

第一行一个数n，表示有多少堆石子。接下来的一行，第i个数表示第i堆里有多少石子。接下来n-1行，每行两个数v,u，代表v,u间有一条边直接相连。接下来一个数q，代表操作的个数。接下来q行，每行开始有一个字符：如果是Q，那么后面有两个数v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略。如果是C，那么后面有两个数v,k，代表把堆v中的石子数变为k。对于100%的数据：1≤N≤500000, 1≤Q≤500000, 0≤任何时候每堆石子的个数≤32767
其中有30%的数据：石子堆组成了一条链，这3个点会导致你DFS时爆栈（也许你不用DFS？）。其它的数据DFS目测不会爆。注意：石子数的范围是0到INT_MAX

Output

对于每个Q，输出一行Yes或No，代表对询问的回答。

Sample Input

5
1 3 5 2 5
1 5
3 5
2 5
1 4
6
Q 1 2
Q 3 5
C 3 7
Q 1 2
Q 2 4
Q 5 3

Sample Output

Yes
No
Yes
Yes
Yes

试题分析

树剖+树状数组实测可过。
这里来口胡一种比较好写时间复杂度较为优秀的\(O(nlog_n)\)写法。
我们将每个点入栈和出栈都加入一个序列。
对于一个点到根的路径，就是这个点的dfn到1这一段的异或和。
然后树状数组维护前缀异或和就可以了。
改的话就是单点修改。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
#define LL long long
 
inline int read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}
const int INF = 2147483600;
const int MAXN = 501000;
 
int N; int a[MAXN+1]; int cnt,tim;
int Next[MAXN<<1],Node[MAXN<<1],Root[MAXN<<1];
int dfn[MAXN+1],Hvs[MAXN+1],fa[MAXN+1],dep[MAXN+1];
int sz[MAXN+1]; int top[MAXN+1];
 
inline void insert(int u,int v){
    Node[++cnt]=v; Next[cnt]=Root[u]; Root[u]=cnt; return ;
}
inline void dfs(int k,int Fa){
    dep[k]=dep[Fa]+1; sz[k]=1; Hvs[k]=-1; fa[k]=Fa;
    for(int x=Root[k];x;x=Next[x]){
        int v=Node[x]; if(v==Fa) continue;
        dfs(v,k); sz[k]+=sz[v]; 
        if(Hvs[k]==-1||sz[Hvs[k]]<sz[v]) Hvs[k]=v; 
    } return ;
}
inline void dfs2(int k,int tp){
    top[k]=tp; dfn[k]=++tim;
    if(Hvs[k]!=-1) dfs2(Hvs[k],tp);
    else return ;
    for(int x=Root[k];x;x=Next[x]){
        int v=Node[x]; if(v==fa[k]||v==Hvs[k]) continue;
        dfs2(v,v); 
    } return ;
}
int c[MAXN+1];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void Add(int i,int k){
    for(int x=i;x<=N;x+=lowbit(x)) c[x]^=k;
    return ;
}
inline int Query(int i){
    int res=0;
    for(int x=i;x;x-=lowbit(x)) res^=c[x];
    return res;
}
inline int Que(int x,int y){
    int fx=top[x],fy=top[y],ans=0;
    while(fx!=fy){
        if(dep[fx]>dep[fy]) ans=ans^Query(dfn[x])^Query(dfn[fx]-1),x=fa[fx];
        else ans=ans^Query(dfn[y])^Query(dfn[fy]-1),y=fa[fy];
        fx=top[x],fy=top[y];
    } 
    if(dfn[x]<dfn[y]) ans=ans^Query(dfn[y])^Query(dfn[x]-1);
    else ans=ans^Query(dfn[x])^Query(dfn[y]-1);
    return ans;
}
char str[MAXN+1];
 
int main(){
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    N=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read();
    for(int i=2;i<=N;i++){
        int u=read(),v=read();
        insert(u,v); insert(v,u);
    } dfs(1,0); dfs2(1,1); int Q=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) Add(dfn[i],a[i]);
    while(Q--){
        scanf("%s",str);
        if(str[0]=='Q'){
            int u=read(),v=read();
            if(Que(u,v)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else{
            int u=read(),v=read();
            Add(dfn[u],a[u]^v); a[u]=v;
        }
    }
    return 0;
}