[BZOJ1494]生成树计数
[BZOJ1494] [NOI2007]生成树计数
Description
最近，小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展，他发现：·n个结点的环的生成树个数为n。·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2)。这两个发现让小栋欣喜若狂，由此更加坚定了
他继续计算生成树个数的想法，他要计算出各种各样图的生成树数目。一天，小栋和同学聚会，大家围坐在一张大圆桌周围。小栋看了看，马上想到了生成树问题。
如果把每个同学看成一个结点，邻座（结点间距离为1）的同学间连一条边，就变成了一个环。可是，小栋对环的计数已经十分娴熟且不再感兴趣。于是，小栋又把图变了一下：不仅把邻座的同学之间连
一条边，还把相隔一个座位（结点间距离为2）的同学之间也连一条边，将结点间有边直接相连的这两种情况统称为有边相连。
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如图1所示。小栋以前没有计算过这类图的生成树个数，但是，他想起了老师讲过的计算任意图的生成树个数的一种通用方法：构造一个n×n的矩阵A={aij},其中其中di表示结点i的度数。与图1相应的A
矩阵如下所示。为了计算图1所对应的生成数的个数，只要去掉矩阵A的最后一行和最后一列，得到一个(n-1)×(n-1)的矩阵B，计算出矩阵B的行列式的值便可得到图1的生成树的个数所以生成树的个数为
|B|=3528。小栋发现利用通用方法，因计算过于复杂而很难算出来，而且用其他方法也难以找到更简便的公式进行计算。于是，他将图做了简化，从一个地方将圆桌断开，这样所有的同学形成了一条链
，连接距离为1和距离为2的点。例如八个点的情形如下：这样生成树的总数就减少了很多。小栋不停的思考，一直到聚会结束，终于找到了一种快捷的方法计算出这个图的生成树个数。可是，如果把距
离为3的点也连起来，小栋就不知道如何快捷计算了。现在，请你帮助小栋计算这类图的生成树的数目。
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Input
包含两个整数k,n，由一个空格分隔。k表示要将所有距离不超过k（含k）的结点连接起来，n表示有n个结点。
Output
输出一个整数，表示生成树的个数。由于答案可能比较大，所以你 只要输出答案除65521 的余数即可。
Sample Input
3 5
Sample Output
75
试题分析
发现k很小，所以可以用最小表示法表示前k个点加上k+1个点的连通性，然后因为m比较大所以需要矩阵快速幂。
代码比较挫，在此理一下思路：
- 把所有最小表示法预处理，并算出每个联通情况的总数。
- 考虑每一个状态加上一个点枚举连边情况，并判断：无环，第一个点(会被删掉的)是否已经与后面还会考虑的某一个联通。
- 加入连通性的时候转化为最小表示法。
- 矩阵快速幂。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
inline LL read(){
LL x=0,f=1; char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const LL INF = 2147483600;
const LL MAXN = 100010;
const LL Mod = 65521;
LL N,M;
struct Mat{
LL x,y; LL a[101][101];
inline void init(LL rr,LL cc){x=rr; y=cc; memset(a,0,sizeof(a));}
}A,Ans; LL Pw[11]; LL sta[101],top;
Mat operator * (Mat A,Mat B){
Mat C; C.init(A.x,B.y);
for(LL i=1;i<=A.x;i++){
for(LL j=1;j<=B.y;j++){
for(LL k=1;k<=A.y;k++)
C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%Mod,C.a[i][j]%=Mod;
}
} return C;
}
Mat operator ^ (Mat A,LL P){
Mat B; B.init(A.x,A.y); for(LL i=0;i<=A.x;i++) B.a[i][i]=1;
for(; P ; P>>=1,A=A*A) if(P&1) B=A*B; return B;
}
inline LL Pow(LL A,LL B){
LL res = 1; for(; B ; B>>=1,A=A*A%Mod) if(B&1) res=res*A%Mod; return res;
} LL Pos[MAXN+1];
inline void Get_state(LL k){
for(LL i=0;i<=top;i++) sta[i]=0;
top=0; while(k){
sta[++top]=k%10,k/=10;
} while(top<N) sta[top+1]=0,++top; reverse(sta+1,sta+N+1); return ;
} LL cnt; LL state[MAXN+1][11]; LL vis[13];
inline void Add(LL k){
Get_state(k); memset(vis,0,sizeof(vis)); LL now=0;
for(LL i=1;i<=N;i++){
if(!vis[sta[i]]) ++now; vis[sta[i]]++;
if(now-1<sta[i]) return ;
} ++cnt; LL res=1; Pos[k]=cnt;
for(LL i=0;i<=N;i++){
state[cnt][i]=sta[i];
if(vis[i]>1) res=res*Pow(vis[i],vis[i]-2)%Mod;
} Ans.a[1][cnt]=res;return ;
} bool ald[MAXN+1]; LL fa[MAXN+1];
LL find(LL x){
return (x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x])));
}
inline LL GS(){
for(LL i=0;i<10;i++) vis[i]=-1; LL now=0,id=0;
for(LL i=2;i<=N+1;i++){
LL x=find(i);
if(vis[x]==-1){
vis[x]=now; id=id*10+now; ++now;
} else id=id*10+vis[x];
}
return Pos[id];
}
inline void Add(LL k,LL add_state){
for(LL i=0;i<=N+1;i++) fa[i]=i;
for(LL i=1;i<=N;i++){
for(LL j=i+1;j<=N;j++){
if(state[k][i]==state[k][j]){
//cout<<"here\n";
LL xx=find(i),yy=find(j);
//cout<<xx<<" "<<yy<<endl;
if(xx!=yy) fa[yy]=xx;
}
}
}
for(LL i=1;i<=N;i++){
if(add_state&(1<<(i-1))){
LL xx=find(N+1),yy=find(i);
if(xx==yy) return ;
fa[yy]=xx;
}
} bool flag=false;
for(LL i=2;i<=N+1;i++){
if(find(1)==find(i)) {flag=true; break;}
} if(!flag) return ;
A.a[k][GS()]++;
}
inline void init_state(LL k){
for(LL i=0;i<(1<<N);i++) Add(k,i); return ;
}
int main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
N=read(),M=read(); Pw[0]=1;
for(LL i=1;i<=N;i++) Pw[i]=Pw[i-1]*10;
for(LL i=0;i<=43210;i++) if(!ald[i%Pw[N]]) Add(i),ald[i%Pw[N]]=true;
A.init(cnt,cnt); Ans.x=1; Ans.y=cnt;
for(LL i=1;i<=cnt;i++) init_state(i);
A=A^(M-N);
Ans=Ans*A; printf("%lld\n",Ans.a[1][1]%Mod);
return 0;
}
