【数论】欧拉函数

欧拉函数φ

     欧拉定理是用来阐述素数模下，指数同余的性质。

     欧拉定理：对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)

     例如φ(8)=4，因为与8互质且小于等于8的正整数有4个，它们是：1,3,5,7

    欧拉定理还有几个引理，具体如下：

    ①：如果n为某一个素数p，则φ(p)=p-1;

    ①很好证明：因为素数p的质因数只有1和它本身，p和p不为互质，所以φ(p)=p-1；

 

    ②：如果n为某一个素数p的幂次，那么φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)；

    ②因为比p^a小的数有p^a-1个，那么有p^(a-1)-1个数能被p所整除（因为把1~p^a-1的p的倍数都筛去了）

       所以φ(p)=p^a-1-(p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)

 

    ③：如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b)

    ③因为比a*b小的数有a*b-1个，条件是a与b互质

       那么可以知道，只有那些既满足a与其互质且既满足b与其互质的数满足条件。

       根据乘法原理，这样的数可以互相组合，那么就有φ(a)*φ(b)个

       所以可以得知φ(a*b)=φ(a)*φ(b) (注意条件必须满足a和b互质)

 

   ④：设n=(p1^a1)*(p2^a2)*……*(pk^ak) (为N的分解式)

         那么φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pk)

   ④因为各个分解完的p1、p2、……pk均为素数，所以它们均为互质的

      每次再刨去它们本身，乘起来

      剩下的运用容斥原理，再根据引理②和引理③就可以得出

 

    欧拉定理：a^(φ(m))同余1(mod m) (a与m互质)

 

欧拉函数的线性筛法----------------------------------------

    大家都知道素数的线性筛法吧，欧拉函数也有线性筛法，可以在线性时间内求出1~N的所有φ

    有以下三条性质：

    

    ①：φ(p)=p-1

    ②：φ(p*i)=p*φ(i) （当p%i==0时）

    ③：φ(p*i)=(p-1)*φ(i) (当p%i!=0时)

 

那么筛法基本与素数筛相同。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int prime[100001],mark[1000001];//prime是素数数组，mark为标记不是素数的数组 
int tot,phi[100001];//phi为φ(),tot为1~i现求出的素数个数 
void getphi(int N){
	phi[1]=1;//φ(1)=1 
	for(int i=2;i<=N;i++){//从2枚举到N 
		if(!mark[i]){//如果是素数 
			prime[++tot]=i;//那么进素数数组，指针加1 
			phi[i]=i-1;//根据性质1所得 
		}
		for(int j=1;j<=tot;j++){//从现求出素数枚举 
			if(i*prime[j]>N) break;//如果超出了所求范围就没有意义了 
			mark[i*prime[j]]=1;//标记i*prime[j]不是素数 
			if(i%prime[j]==0){//应用性质2 
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//应用性质3 
		} 
	} 
}
int N;
int main(){
	cin>>N;
	getphi(N);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		cout<<i<<":phi ( "<<phi[i]<<" )"<<endl;//输出phi(i)
	}
}