【数论】卡特兰数

Catanlan Number

    卡特兰数，又称卡塔兰数(Catanlan Number),是一个非常多见、高深的数列。它能解决我们数论题目中一些计数问题。前几项为:1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786……

    

    那么如何求Catanlan Number的第N项呢？

    1、

    2、

    3、

    4、

    5、

 

着重需要介绍一下的是卡特兰数的功能

 

    例一：二叉树的计数

    n个非叶节点的满二叉树的形态数（对称后得到的二叉树除非自己本身对称，否则算是不同），这里取Wikipedia上的一张图片说明问题：

 

    问题分析：设该二叉树的左子树有i个节点，则右子树可想而知有n-i-1个节点。

                  我们可以使用f(n)来表示n个节点二叉树不同的形态数。

                  那么总和的答案就是我们的式3了。

 

    例二：AB排列问题

    有n个A和n个B排成一排，要求从序列的第一个开始无论到任何位置，B的个数不能超过A的个数。

    问题分析：可以尝试用↗来表示A，用↘来表示B，那么我们可以画一个图标，最终是一个等腰直角三角形，你会惊讶地发现画完以后任何时候A都≥B。

 

    例三：乘法加括号

    一个序列A1*A2*A3*……*An，可以加括号改变该序列的运算顺序，问：有多少种不同的运算顺序？

    问题分析：n=1时，A0*A1，f(1)=1

                  n=2时，A0*A1*A2，A0*(A1*A2),f(2)=2

                                       ……

                  以此类推，会发现答案是卡特兰数列的第N项。

 

                 我们也可以像二叉树计数问题那样得到f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+……+f(n-1)*f(0)

                 发现答案就是卡特兰数、

 

   例四：欧拉多边形分割问题

   我们可以用n-3条互不相交的对角线将n边形分成n-2个互相没有重叠的三角形，输出有多少种不同的分法。

   如N=6时，如下所示

 

   Catalan Number是一门非常高深的理论，如果有兴趣可以继续去研究。

   [本文部分图片来自于:http://blog.csdn.net/duanruibupt/article/details/6869431]