Floyd算法

Floyd算法

核心思路：

通过一个图的权值求出它每两点之间的最短路，也可求解多源最短路

从带权的图a中，递归地进行n次更新，构造出距离矩阵。

采用松弛操作，对在i和j之间的点做一次松弛。

时间复杂度为O（n^3）

 

动态转移方程：

Map[i][j]=min{

               Map[i][j]+Map[k][j],

               Map[i][j]

           }

 

 

Map[i][j]表示i到j的最短距离，k是穷举i，j的断点。

 

 最短距离有三种情况：

１、两点的直达距离最短。
２、两点间只通过一个中间点而距离最短。
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。

 

算法过程：

  

1．    从一条边开始，两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边，就可以默认权无穷大。从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

 

2．    对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得u到v之间中转更短，如果是则更新它。

 

例如有图如下：

这就是一个多源最短路，也就是求任意两点的距离。

那矩阵e为：

0	2	6	4
无穷	0	3	无穷
7	无穷	0	1
5	无穷	12	0

 

Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角

这个算法过程虽说麻烦，但核心代码只有5行：

1 void Floyd()

{
2     int i,j,k;

3     for(k=1;k<=n;k++)

4         for(i=1;i<=n;i++)

5             for(j=1;j<=n;j++)

6                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])

7                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];

8 }

复杂度：

 

由于代码：

 

16     for(k=1;k<=n;k++)

 

17         for(i=1;i<=n;i++)

 

18             for(j=1;j<=n;j++)

 

19                 if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])

 

20                     e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

 

所以显而易见，此算法需要O（n^3）的时间复杂度

 

空间复杂度有二维数组，所以为O（n^2）

 

    Floyd算法属于一种动态规划思想的算法，简单有效，效率高于执行N次Dijkstra算法，也高于执行N次spfa算法，但是此算法时间复杂度较高，所以不适合计算大数据。

 

整体核心代码：

for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);