【海岛帝国系列赛】No.7 海岛帝国：神圣之日

50237242海岛帝国：神圣之日

【试题描述】

     战争持续九个月了。“购物券”WHT的军队还在跟恐怖分子僵持着。WHT和LJX已经向“公务员”告急，情况不宜乐观。YSF为守护帝国决定打开“够累 的”星际仓库来化解恐怖分子的威胁。他和LTJ、WHT、LJX、YSM、LYF等人来到了传说中的星际仓库的防爆门前。“郭同学”TONY，“演 员”KLINT，“美的”STEVE……都被恐怖分子的间谍困在里面。由于情况复杂，恐怖分子在门上加了一层层密码，如果没有顺利答对，“蝴蝶”将会引 爆。整个城市将毁灭。门上有这样一幅图，一排有两个空位，地下散落着N枚“微型机器人”其中编号1,2,3表示TX型号（呵呵呵，大家都知道“州长” 吧）4,5,6表示T-5000型号，每排必须有TX、T-5000型号各一个。当把两个机器人插在一排时，如果这两个机器人互相感应就会亮起红灯。要求 尽量让有感应的机器人插在一起。请问如何摆放，才能让最多的机器人满足条件？

【输入要求】

* 第一行两个正整数N,M，表示有N个机器人，有M个关系道
* 接下来M行：每行两个数A,B表示机器人A和B之间有感应

 

【输出要求】

* 一行：表示能满足的最大值

 

【输入实例】

6 5
1 4
1 5
2 5
2 6
3 4

 

【输出实例】

3

 

【其他说明】

依旧，
M均小于40
N均小于10

 

【试题分析】

 这里用到了二分图匹配，所以我们先来了解一下，什么是二分图。

 简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

区别二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集。

上图中U和V构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。

上图中U和V和W构造的点集所形成的的循环圈为奇数，所以不是二分图。

最大匹配

编辑

求二分图最大匹配可以用最大流或者匈牙利算法。

 

最大匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配.

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配.

算法

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的.但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数.因此，需要寻求一种更加高效的算法.

增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边（即已匹配和待匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径.

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1-P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M.

2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'.

3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径.

 

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。也就是说在二分图中，顶点可以分为两个集合X和Y，每一条边的两个顶点都分别位于X和Y集合中。如下图所示：

 

1 最大匹配
    在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题,最大匹配的边数称 为最大匹配数.如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。如果在左右两边加上源汇点后，图G等价于一 个网络流，最大匹配问题可以转为最大流的问题。解决此问的匈牙利算法的本质就是寻找最大流的增广路径。上图中的最大匹配如下图红边所示：

 

2 最优匹配

最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。

 

3 最小覆盖

二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖：

①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联，二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数；

②最小路径覆盖也称为最小边覆盖，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数；

 

4 最大独立集

    最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。如下图中黑色点即为一个最大独立集：

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。也就是说在二分图中，顶点可以分为两个集

X和Y，每一条边的两个顶点都分别位于X和Y集合中。

【以上内容为转载】

 

求二分图最大匹配的方法最容易想到的就是找出全部匹配，然后输出配对数最多的。但这种方法的时间复杂度非常高，那么，有没有更好的方法呢？

当然，如果找到一条增广路，那么配对数就会加一，它的本质就是一条路径的起点和终点都是未配对的点。如果在当下再也找不到增广路，那么当前就是最大匹配了。

【代码】

#include<iostream>
using namespace std;
int e[101][101];
int match[101];
int book[101];
int n,m;
int dfs(int u)
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(book[i]==0&&e[u][i]==1)
        {
            book[i]=1;
            if(match[i]==0||dfs(match[i]))
            {
                match[i]=u;
                match[u]=i;
                return 1; 
            }
        }
    return 0;
}
int main()
{
    int i,j,t1,t2,sum=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>t1>>t2;
        e[t1][t2]=1;
        e[t2][t1]=1;
    }
    for(i=1;i<=n;i++) match[i]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++) book[j]=0;
        if(dfs(i)) sum++; 
    }
    printf("%d",sum);
}