最优二叉查找树

最优二叉查找树：

给定n个互异的关键字组成的序列K=<k1,k2,...,kn>，且关键字有序（k1<k2<...<kn），我们想从这些关键字中构造一棵二叉查找树。对每个关键字ki，一次搜索搜索到的概率为pi。可能有一些搜索的值不在K内，因此还有n+1个“虚拟键”d0,d1,...,dn，他们代表不在K内的值。具体：d0代表所有小于k1的值，dn代表所有大于kn的值。而对于i = 1,2,...,n-1,虚拟键di代表所有位于ki和ki+1之间的值。对于每个虚拟键，一次搜索对应于di的概率为qi。要使得查找一个节点的期望代价（代价可以定义为：比如从根节点到目标节点的路径上节点数目）最小，就需要建立一棵最优二叉查找树。

 

           　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知每个关键字以及虚拟键被搜索到的概率，可以计算出一个给定二叉查找树内一次搜索的期望代价。假设一次搜索的实际代价为检查的节点的个数，即所发现的节点的深度加1.计算一次搜索的期望代价等式为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 建立一棵二叉查找树，期望搜索代价最小，那么这棵二叉查找树就是最优二叉查找树。

 还有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

最优子结构：

如果一棵最优二叉查找树T有一棵包含关键字ki,..,kj的子树T'，那么这可子树T'对于关键字Ki,...,kj和虚拟键di-1,...dj的子问题也必定是最优的。

给定关键字ki,...,kj，假设kr(i<=r<=j)是包含这些键的一棵最优子树的根。其左子树包含关键字ki,...,kr-1和虚拟键di-1,...,dr-1，右子树包含关键字kr+1,...,kj和虚拟键dr,...dj。我们检查所有的候选根kr,就保证可以找到一棵最优二叉查找树。

一个递归解：

定义e[i,j]为包含关键字ki,...,kj的最优二叉查找树的期望代价，最终要计算的是e[1,n]。

当j = i - 1时，此时子树中只有虚拟键，期望搜索代价为e[i,i - 1] = qi-1.

当j >= i时，需要从ki,...,kj中选择一个根kr，然后分别构造其左子树和右子树。下面需要计算以kr为根的树的期望搜索代价。然后选择导致最小期望搜索代价的kr做根。

子树中每个节点深度都增加1.期望搜索代价增加量为子树中所有概率的总和。

对一棵关键字ki,...,kj的子树，所有概率之和为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

以kr为根的子树的期望搜索代价为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

注意：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

因此e[i][j]可以重写为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

最终可得递归公式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

实现代码：

package obst;

/**
 *最优二叉搜索树
 *@author wxisme
 *@time 2015-10-22 下午8:06:04
 */
public class Solve_obst {
    
    public static int[][] e;
    public static int[][] w;
    public static int[] p;
    public static int[] q;
    public static int[][] root;
    
    
    public static void optional_bst() {
        
        int n = p.length+1;
        e = new int[n+1][n];
        w = new int[n+1][n];
        root = new int[n][n];
        
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            e[i][i-1] = q[i-1];
            w[i][i-1] = q[i-1];
        }
        
        for(int l=1; l<=n; l++) {
            for(int i=l; i<=n-l+1; i++) {
                int j = i+l-1;
                e[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                w[i][j] = w[i][j-1] + p[i] +q[j];
                for(int r=i; r<=j; r++) {
                    int t = w[i][r-1] + e[r+1][j] + w[i][j];
                    if(t < e[i][j]) {
                        e[i][j] = t;
                        root[i][j] = r;
                    }
                }
            }
        }
        
    }

}

 

 

将e,w,root对角线旋转到水平方向。如下图：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

时间复杂度为O(n^3)

 

FROM 算法导论