栈及其应用
栈又称堆栈,是一种运算受限的线性表,其限制是仅允许在表的一端进行插入和删除运算。把对栈进行运算的一端称为栈顶,另一端称为栈底。向一个栈插入新元素称为入栈或进栈,Push;从一个栈删除元素称为退栈或出栈,Pop。因为后进栈的元素必定先出栈,所以又把栈称为后进先出表(Last In First Out, LIFO)。
栈的应用
1.输入,之后逆序输出。
2.语法检查:括号匹配。每当扫描到大中小的左括号后,令其进栈,当扫描到右括号时,则检查栈顶是否为相应的左括号,若是则退栈处理,若不是则出现了语法错误。当扫描到文件结尾,若栈为空则表明没有发现括号配对错误。
3.数制转换:把十进制的整数转换为二至九之间的任一进制数输出。
转换方法:要转换为r进制,则原来的数逐次除以基数r(除完之后用商再除),直到商为0,得到的一系列余数的逆序就是转换结果。
算术表达式的计算
在中缀表达式(就是我们人类通常写的算术表达式)中,计算需要注意优先级、括号这些问题,和运算符的实际运算次序往往同它们在表达式中的先后次序不一致,所以波兰科学家提出了后缀表达式,把运算符放在两个运算对象的后面。在后缀表达式中看,不存在括号,也不存在运算符优先级的差别,计算过程完全按照运算符出现的先后次序进行,整个计算过程仅需扫描一遍便可完成。
中缀表达式转换成后缀表达式:
转换过程如下:从头到尾扫描中缀表达式,若遇到数字则直接写入后缀表达式,若遇到运算符,则比较栈顶元素和该运算符的优先级,当该运算符的优先级大于栈顶元素的时候,表明该运算符的后一个运算对象还没有进入后缀表达式,应该把该运算符暂存于运算符栈中,然后把它的后一个运算对象写入到后缀表达式中,再令其出栈并写入后缀表达式中;若遇到的运算符优先级小于等于栈顶元素的优先级,表明栈顶运算符的两个运算对象已经被写入后缀表达式,应将栈顶元素出栈并写入后缀表达式,对于新的栈顶元素仍进行比较和处理,直到栈顶元素的优先级小于当前等待处理的运算符的优先级为止,然后令该运算符进栈即可。按照上述过程扫描到中缀表达式的末尾,把剩余的运算符依次出栈并写入后缀表达式即可。
中缀表达式“9+(3-1)*3+10/2”转化为后缀表达式“9 3 1-3*+ 10 2/+”
下面我们来具体看看这个过程。
1. 初始化一空栈,用来对符号进出栈使用。
2. 第一个字符是数字9,输出9,后面是符号“+”,进栈。
![](http://www.nowamagic.net/librarys/images/201210/2012_10_22_08.jpg)
3. 第三个字符是“(”,依然是符号,因其只是左括号,还未配对,故进栈。
4. 第四个字符是数字3,输出,总表达式为9 3,接着是“-”进栈。
![](http://www.nowamagic.net/librarys/images/201210/2012_10_22_09.jpg)
5. 接下来是数字1,输出,总表达式为9 3 1,后面是符号“)”,此时,我们需要去匹配此前的“(”,所以栈顶依次出栈,并输出,直到“(”出栈为止。此时左括号上方只有“-”,因此输出“-”,总的输出表达式为9 3 1 -
6. 接着是数字3,输出,总的表达式为9 3 1 - 3 。紧接着是符号“*”,因为此时的栈顶符号为“+”号,优先级低于“*”,因此不输出,进栈。
![](http://www.nowamagic.net/librarys/images/201210/2012_10_22_10.jpg)
7. 之后是符号“+”,此时当前栈顶元素比这个“+”的优先级高,因此栈中元素出栈并输出(没有比“+”号更低的优先级,所以全部出栈),总输出表达式为 9 3 1 - 3 * +.然后将当前这个符号“+”进栈。也就是说,前6张图的栈底的“+”是指中缀表达式中开头的9后面那个“+”,而下图中的栈底(也是栈顶)的“+”是指 “9+(3-1)*3+”中的最后一个“+”。
8. 紧接着数字10,输出,总表达式变为9 3 1-3 * + 10。
![](http://www.nowamagic.net/librarys/images/201210/2012_10_22_11.jpg)
9. 最后一个数字2,输出,总的表达式为 9 3 1-3*+ 10 2
10. 因已经到最后,所以将栈中符号全部出栈并输出。最终输出的后缀表达式结果为 9 3 1-3*+ 10 2/+
![](http://www.nowamagic.net/librarys/images/201210/2012_10_22_12.jpg)
中缀表达式转前缀
遵循以下步骤:
(1) 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2) 从右至左扫描中缀表达式;
(3) 遇到操作数时,将其压入S2;
(4) 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1) 如果S1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入S1;
(4-3) 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5) 遇到括号时:
(5-1) 如果是右括号“)”,则直接压入S1;
(5-2) 如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8) 依次弹出S2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下:
因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。
后缀表达式求值
从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素 op 栈顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”:
(1) 从左至右扫描,将3和4压入堆栈;
(2) 遇到+运算符,因此弹出4和3(4为栈顶元素,3为次顶元素,注意与前缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3) 将5入栈;
(4) 接下来是×运算符,因此弹出5和7,计算出7×5=35,将35入栈;
(5) 将6入栈;
(6) 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
前缀表达式的计算机求值:
从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素 op 次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”:
(1) 从右至左扫描,将6、5、4、3压入堆栈;
(2) 遇到+运算符,因此弹出3和4(3为栈顶元素,4为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3) 接下来是×运算符,因此弹出7和5,计算出7×5=35,将35入栈;
(4) 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
可以看出,用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。