二叉查找树详解

转自：伯乐在线http://blog.jobbole.com/79305/

一 定义

　　二叉查找树（Binary Search Tree），也称有序二叉树（ordered binary tree）,排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

　　1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

　　3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

　　4. 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

　　如下图，这个是普通的二叉树：

　　在此基础上，加上节点之间的大小关系，就是二叉查找树：

二 实现

　　在实现中，我们需要定义一个内部类Node，它包含两个分别指向左右节点的Node，一个用于排序的Key，以及该节点包含的值Value，还有一个记录该节点及所有子节点个数的值Number。

private static class BinaryNode<T> {
	T data;
	BinaryNode<T> left;
	BinaryNode<T> right;
	public BinaryNode(T data) {
		this(data, null, null);
	}
	public BinaryNode(T data, BinaryNode<T> left, BinaryNode<T> right) {
		this.data = data;
		this.left = left;
		this.right = right;
	}
}

查找

　　查找操作和二分查找类似，将key和节点的key比较，如果小于，那么就在Left Node节点查找,如果大于，则在Right Node节点查找，如果相等，直接返回Value。

　　该方法实现有迭代和递归两种。递归的方式实现如下：

public boolean contains(T data) {
	return contains(data, root);
}
private boolean contains(T data, BinaryNode<T> node) {
	if (node == null) {
		return false;
	}
	int compareResult = data.compareTo(node.data);
	if (compareResult < 0) {
		return contains(data, node.left);
	} else if (compareResult > 0) {
		return contains(data, node.right);
	} else {
		return true;
	}
}

插入

　　插入和查找类似，首先查找有没有和key相同的，如果有，更新；如果没有找到，那么创建新的节点。并更新每个节点的Number值，代码实现如下：

public void insert(T data) {
	root = insert(data, root);
}
private BinaryNode<T> insert(T data, BinaryNode<T> node) {
	if(node==null){
		return new BinaryNode(data, null, null);
	}
	int compareResult=data.compareTo(node.data);
	if(compareResult<0)
		node.left=insert(data, node.left);
	else if(compareResult>0)
		node.right=insert(data,node.right);
	else
		;
	return node;
}

　　插入操作图示如下：

　　下面是插入动画效果：

　　随机插入形成树的动画如下，可以看到，插入的时候树还是能够保持近似平衡状态：

最大最小值

　　如下图可以看出，二叉查找树的最大最小值是有规律的：

　　从图中可以看出，二叉查找树中，最左和最右节点即为最小值和最大值，所以我们只需迭代调用即可。

public T findMin() throws Exception {
	if (isEmpty())
		throw new Exception();
	return findMin(root).data;
}
public T findMax() throws Exception {
	if (isEmpty())
		throw new Exception();
	return findMax(root).data;
}
private BinaryNode<T> findMin(BinaryNode<T> node) {
	if (node == null)
		return null;
	else if (node.left == null)
		return node;
	else
		return findMin(node.left);
	}
private BinaryNode<T> findMax(BinaryNode<T> node) {
	if (node != null) {
		while (node.right != null) {
			node = node.right;
		}
	}
	return node;
}

Floor和Ceiling

　　查找Floor(key)的值就是所有<=key的最大值，相反查找Ceiling的值就是所有>=key的最小值，下图是Floor函数的查找示意图：

　　以查找Floor为例，我们首先将key和root元素比较，如果key比root的key小，则floor值一定在左子树上；如果比root的 key大，则有可能在右子树上，当且仅当其右子树有一个节点的key值要小于等于该key；如果和root的key相等，则floor值就是key。根据 以上分析，Floor方法的代码如下，Ceiling方法的代码类似，只需要把符号换一下即可：

public TKey Floor(TKey key) { Node x = Floor(root, key); if (x != null) return x.Key; else return default(TKey); } private Node Floor(Node x, TKey key) { if (x == null) return null; int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp == 0) return x; if (cmp < 0) return Floor(x.Left, key); else { Node right = Floor(x.Right, key); if (right == null) return x; else return right; }

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

public TKey Floor(TKey key) {     Node x = Floor(root, key);     if (x != null) return x.Key;     else return default(TKey); }   private Node Floor(Node x, TKey key) {     if (x == null) return null;     int cmp = key.CompareTo(x.Key);     if (cmp == 0) return x;     if (cmp < 0) return Floor(x.Left, key);     else     {         Node right = Floor(x.Right, key);         if (right == null) return x;         else return right;     } }

删除

　　删除元素操作在二叉树的操作中应该是比较复杂的。首先来看下比较简单的删除最大最小值得方法。以删除最小值为例，我们首先找到最小值，及最左边左子树为空的节点，然后返回其右子树作为新的左子树。操作示意图如下：

代码实现如下：

　　删除最大值也是类似。

　　现在来分析一般情况，假定我们要删除指定key的某一个节点。这个问题的难点在于：删除最大最小值的操作，删除的节点只有1个子节点或者没有子节点，这样比较简单。但是如果删除任意节点，就有可能出现删除的节点有0个，1 个，2个子节点的情况，现在来逐一分析。

　　当删除的节点没有子节点时，直接将该父节点指向该节点的link设置为null。

　　当删除的节点只有1个子节点时，将该自己点替换为要删除的节点即可。

　　当删除的节点有2个子节点时，问题就变复杂了。

　　假设我们删除的节点t具有两个子节点。因为t具有右子节点，所以我们需要找到其右子节点中的最小节点，替换t节点的位置。这里有四个步骤：

　　1. 保存带删除的节点到临时变量t

　　2. 将t的右节点的最小节点min(t.right)保存到临时节点x

　　3. 将x的右节点设置为deleteMin(t.right)，该右节点是删除后，所有比x.key最大的节点。

　　4. 将x的做节点设置为t的左节点。

　　整个过程如下图：

对应代码如下：

public void remove(T data) {
	root = remove(data, root);
}
private BinaryNode<T> remove(T data, BinaryNode<T> node) {
	if(node==null)
		return node;
	int compareRresult=data.compareTo(node.data);
	if(compareRresult<0)
		node.left=remove(data, node.left);
	else if(compareRresult>0)
		node.right=remove(data, node.right);
	else if(node.left!=null&&node.right!=null){
		node.data=findMin(node.right).data;
		node.right=remove(node.data, node.right);
	}else
		node=(node.left!=null)?node.left:node.right;
	return node;
}

　　以上二叉查找树的删除节点的算法不是完美的，因为随着删除的进行，二叉树会变得不太平衡，下面是动画演示。

三 分析

　　二叉查找树的运行时间和树的形状有关，树的形状又和插入元素的顺序有关。在最好的情况下，节点完全平衡，从根节点到最底层叶子节点只有lgN个节点。在最差的情况下，根节点到最底层叶子节点会有N各节点。在一般情况下，树的形状和最好的情况接近。

　　在分析二叉查找树的时候，我们通常会假设插入的元素顺序是随机的。对BST的分析类似与快速排序中的查找：

　　BST中位于顶部的元素就是快速排序中的第一个划分的元素，该元素左边的元素全部小于该元素，右边的元素均大于该元素。

　　对于N个不同元素，随机插入的二叉查找树来说，其平均查找/插入的时间复杂度大约为2lnN，这个和快速排序的分析一样，具体的证明方法不再赘述，参照快速排序。

四 总结

有了前篇文章 二分查找的分析，对二叉查找树的理解应该比较容易。下面是二叉查找树的时间复杂度：

　　它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为lgN，但是在最坏的情况下仍然会有N的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是后面要讲的平衡查找树的内容了。

英文原文：http://algs4.cs.princeton.edu/32bst/