每日知识（4）墨卡托投影

墨卡托投影，又称等角正切圆柱投影，其原理是假设有一个与在赤道与地球相切的圆柱面，先把球面映射到这个圆柱面，再把这个圆柱面展开成为一个平面。

在墨卡托投影中，强调角度不变——假定地球表面有两点A和B，在地球球面上，B相对于A的角度是北偏东 ，那么经过墨卡托投影之后，在平面地图上，B相对于A的角度仍然是北偏东。这一点在航海中非常重要，因为在茫茫大海中，没有什么参照物，只能根据罗盘或者星象来判断方位，如果地图上终点相对于出发点的方位角和实际的方位角不同，那么这样的地图在航海中没有实际意义。正因为如此，海图一般都是采用墨卡托投影规则制作的（极地海图除外）。

• 例：设地球的半径为R，已知地球上一点P的坐标是 ，其中表示经度，范围是- <<，负数表示西经，正数表示东经；B表示维度，范围是- < <，负数表示南纬，正数表示北纬。将地球球面通过墨卡托投影映射到平面直角坐标系中，以0度经线与赤道的交点的映射点为原点，X轴与纬线平行，并取东方为正方向；Y轴与经线平行，并取北方为正方向。求P点在平面直角坐标系中的映射点P'的坐标 (Xp',Yp')。

解：根据墨卡托投影的原理可知，墨卡托投影是由一个和地球赤道相切的圆柱面展开而成的，所以展开之后的图形的宽度就是地球赤道的长度，P'点的X坐标就是通过P'点的经线与赤道的交点到0度经线和赤道的交点之间的距离，也就是赤道线的一部分，其值为：

求P’点的Y坐标稍微麻烦一点，我们看下图：

因为墨卡托投影要遵循的一个原则是方向角不变，所以映射过程中X方向和Y方向的缩放比例要相同。从图中我们可以知道，纬度为的纬线圈，投影过后变成和赤道一样长的一条直线，所以纬度为的点附近一个非常小的区域，投影过后，水平方向的放大比率是：

 

而根据墨卡托投影的规则，该块小区域垂直方向上上的放大比率也应该是 ，在投影之前的地球表面上，小块区域竖直方向的边长就是经线的一部分，我们可以用地球的半径乘以一个小角度来表示：

那么投影之后的小区域竖直方向上的边长应该是：

在上式中，对纬度进行积分，我们便可以计算出纬度是的点，投影之后的Y坐标是：

  

所以，最终的结果就是：

也许你会怀疑，这个积分是怎样计算出来的，说实话我也没有搞清楚，据说是骨灰级的数学家算出来的，如果你想验证，我建议你从微分入手，证明下式成立，可能会容易一些：

至此，我们已经了解了墨卡托投影的原理和坐标转换的算法，但是还只能是比较粗浅的了解，为了能够深入掌握这种投影技术，这里有几个思考题供大家练习：

转自http://www.blogoutdoor.com/user1/8860/archives/2007/36455.html