每一对顶点间最短路径的Floyd算法
Floyd思想可用下式描述:
A-1[i][j]=gm[i][j]
A(k+1)[i][j]=min{Ak[i][j],Ak[i][k+1]+Ak[K+1][j]} -1<=k<=n-2
该式是一个迭代公式,Ak表示已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点之后各顶点之间的最短路径,即Ak[i][j]表示由Vi到Vj已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点的最短路径;在此基础上再考虑顶点k+1并求出各顶点在考虑了顶点k+1之后的最短路径,即得到Ak+1.每迭代一次,在从vi到vj的最短路径上就多考虑了一个顶点;经过n次迭代后所得到的A(n-1)[i][j]值,就是考虑所有顶点后从Vi到Vj的最短路径,也就是最终的解。
若Ak[i][j]已经求出,且顶点i到顶点j的路径长度为Ak[i][j],顶点i到顶点k+1的路径长度为Ak[i][k+1],顶点k+1到顶点j的路径长度为Ak[K+1][j],现在考虑顶点k+1,如果Ak[i][K+1]+Ak[k+1][j]<Ak[i][j],则将原来顶点i到顶点j的路径改为:顶点i到顶点k+1,再由顶点k+1到顶点j;对应的路径长度为:A(k+1)[i][j]=Ak[i][k+1]+Ak[k+1][j];否则无需修改顶点i到顶点j的路径.
参考代码:
1 #include<stdio.h> 2 #define MAXSIZE 6//带权有向图中顶点的个数 3 #define INF 32767 4 5 void Ppath(int path[][MAXSIZE],int i,int j)//前向递归查找路径上的顶点，MAXSIZE为常数 6 { 7 int k; 8 k=path[i][j]; 9 if(k!=-1) 10 { 11 Ppath(path,i,k);//找顶点vi的前一个顶点vk 12 printf("%d->",k);//输出顶点vk序号k 13 Ppath(path,k,j);//找顶点vk的前一个顶点vj 14 } 15 } 16 17 void Dispath(int A[][MAXSIZE],int path[][MAXSIZE],int n)//输出最短路径的函数 18 { 19 int i,j; 20 for(i=0;i<n;i++) 21 for(j=0;j<n;j++) 22 if(A[i][j]==INF)//INF为一极大常数 23 { 24 if(i!=j) 25 printf("从%d到%d没有路径!\n",i,j); 26 } 27 else//从vi到vj有最短路径 28 { 29 printf("从%d到%d的路径长度:%d,路径:",i,j,A[i][j]); 30 printf("%d->",i);//输出路径上的起点序号i 31 Ppath(path,i,j);//输出路径上的各中间点序号 32 printf("%d\n",j);//输出路径的终点序号j 33 } 34 } 35 36 void Floyd(int gm[][MAXSIZE],int n)//Floyd算法 37 { 38 int A[MAXSIZE][MAXSIZE],path[MAXSIZE][MAXSIZE]; 39 int i,j,k; 40 for(i=0;i<n;i++) 41 for(j=0;j<n;j++) 42 {A[i][j]=gm[i][j];//A-1[i][j]置初值 43 path[i][j]=-1;//-1表示初始时最短路径不经过中间顶点 44 } 45 for(k=0;k<n;k++)//按顶点编号k递增的次序查找当前顶点之间的最短路径长度 46 for(i=0;i<n;i++) 47 for(j=0;j<n;j++) 48 if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]) 49 {A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];//从vi到vj经过vk时路径长度更短 50 path[i][j]=k;//记录中间顶点Vk的编号 51 } 52 Dispath(gm,path,n);//输出最短路径 53 } 54 55 void main() 56 { 57 int g[MAXSIZE][MAXSIZE]={{INF,20,15,INF,INF,INF},{2,INF,INF,INF,10,30},{INF,4,INF,INF,INF,10}, 58 {INF,INF,INF,INF,INF,INF},{INF,INF,INF,15,INF,INF},{INF,INF,INF,4,10,INF}}; 59 Floyd(g,MAXSIZE); 60 }
输出结果:
