棋盘覆盖

在一个2k x 2k ( 即：2^k x 2^k )个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖，用到的方格数为(4^k-1)/3

 

 

  

 

    这里我们用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小、类似的子问题，然后递归地解决所有子问题，最后再由子问题的解决得到原问题的解决。
【解题思路】：将2^k x 2^k的棋盘，先分成相等的四块子棋盘，其中特殊方格位于四个中的一个，构造剩下没特殊方格三个子棋盘，将他们中的也假一个方格设为特殊方格。如果是：
左上的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格

右下的子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格

为了将这三个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这三个较小棋盘的 汇合处，如图B所示，这三个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用这种分割直至棋盘分割为1*1棋盘。

 当然上面四种，只可能且必定只有三个成立，那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架，我们可以给它们作上相同的标记。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似，我们就可以用递归算法解决。

代码如下：

#include<iostream.h>
int tile=1;
int board[100][100];
void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
       if(size==1)
              return;
       int t=tile++;//L型骨牌号
       int s=size/2;//分割棋盘
       if(dr<tr+s && dc<tc+s)//如果棋盘在左上角中
              chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);//分割左上角棋盘
       else
       {
              board[tr+s-1][tc+s-1]=t;//用t号覆盖右下角
              chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);//覆盖其他方格
       }
       if(dr<tr+s && dc>=tc+s)//如果棋盘在右上角中
              chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s); //分割右上角棋盘
       else
       {
              board[tr+s-1][tc+s]=t;//用t号覆盖左上角
              chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);//覆盖其他方格
       }
       if(dr>=tr+s && dc<tc+s)//如果棋盘在左下角中
              chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);//分割左下角棋盘
       else
       {
              board[tr+s][tc+s-1]=t;//用t号覆盖右上角
              chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);//覆盖其他方格
       }
       if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)//如果棋盘在右下角中
              chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);//分割右下角棋盘
       else
       {
              board[tr+s][tc+s]=t;//用t号覆盖左上角
              chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);//覆盖其他方格
       }
}
 
void main()
{
       int size;
       cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): ";
       cin>>size;
       int index_x,index_y;
       cout<<"输入特殊方格位置的坐标: ";
       cin>>index_x>>index_y;
       chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);
       for(int i=0;i<size;i++)
       {
              for(int j=0;j<size;j++)
                     cout<<board[i][j]<<"\t";
              cout<<endl; 
       } 
}