如何理解小波变换

1、小波函数和小波变换之间的关系？

和傅里叶变换类似。在FFT中，一个信号由无数个sin和cos构成。

那么在小波变换变换中，一个信号由无数个小波基函数构成。

常见的小波基函数有哪些？

2、小波变换中的两个基本概念，scale和shift

短时傅里叶变换（STFT）存在的问题：STFT做不到正交化

那么为什么要正交呢？我们知道sin函数和cos函数是正交的，STFT的正交性该如何理解？

可以这样理解：

做FFT实际上是用不同的cos函数（cos(wt),cos(2wt)，cos(3wt)，...，cos(nwt)）跟原始信号做卷积（从原始信号中摘取cos(wt)成分,...）。

如果原始信号包含了cos(wt)分量，则卷积后的结果不为0，那么可以认为原始信号中有cos(wt)分量，依次类推，将整个频率都试一遍。完成频谱分析图。可见这样做的计算量非常大，但不管如何，FFT是可以进行的。

而小波变化最核心的一点是，将sin和cos基换成了小波基。

如下是一个小波基的数学表达式：

其中τ代表了shift

a代表了scale。

计算小波频谱的方法跟傅里叶类似。由于小波和cos不一样，它有限长，而且其他时刻基本上衰减到0附近，因此可以保留时间信息。

3、小波变换后的结果中

a和b分别代表什么？

如何理解matlab中的小波变换的结果。

理解小波系数：

https://zhidao.baidu.com/question/1382947695099319860.html

那么是不是说，在matlab中，不同level对应不同scale的小波基。

https://wenku.baidu.com/view/01b5d51074c66137ee06eff9aef8941ea76e4b34.html

https://www.ilovematlab.cn/thread-301735-1-1.html

d1，d2，到dn，再到an是怎么来的呢？

https://www.ilovematlab.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=190384
（1）小波系数可以理解为小波与信号的相似程度；（2）图中的a,d表示分解后的系数。

a是垂直方向的系数 d是对角方向的系数

后来我研究了下发现，小波GUI里面的a3,d3,d2,d1 是已经经过重构了的信号，也就是说说信号用wavemenu工具箱分析，即被分解了又被重构了，a3,d3,d2,d1不是单纯的小波系数

感慨：2017年之后，都去搞深度学习了。想小波这么厉害的工具，已经无人问津了。可怜。

总结：a3,d3,d2,d1 是已经经过重构了的信号。使用相应的小波系数，进行重构后的信号。

最后，奉上可以直接跑的小波变换code

CWTcoeffs = cwt(x,1:180,'sym4');%获取小波系数；sym4是一种类似正弦波的小波，还有haar小波。db4小波
imagesc(t,1:180,abs(CWTcoeffs)); %小波系数的可视化。不同的行代表不同的频率，也就是scale。横坐标是时间
colormap jet; axis xy;
xlabel('t'); ylabel('Scales');

附录:

岔开这个话题，我问一下：第一，cos(wt)和cos(2wt)做卷积，为0 吗？换句话说，cos(wt),cos(2wt)正交吗？第二，cos(nwt)和sin(pwt)[n不等于p]正交吗？