D. Vupsen, Pupsen and 0（构造）

题目：D. Vupsen, Pupsen and 0

题目链接：https://codeforces.ml/contest/1582/problem/D

题意：给出一个长度为n的数组a，保证数组元素都不为0，求构造任意一个长度为n，且元素都不为0的数组b，使得

1.  a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 + …… + an * bn = 0，
2.  |b1|+|b2|+…+|bn| <= 1e9。

输入描述：

第一行输入测试用例个数t。

t个测试用例。每个测试用例第一行输入n（2 <= n <= 1e5），第二行给出数组a的n个元素ai（-1e4 <= ai <= 1e4, ai ≠ 0）。

输出描述：

对于每个测试用例，输出数组b。

样例输入：

1

2

5 5

样例输出：

1 -1

样例解释：5 * 1 + 5 * (-1) = 0且|b1|+|b2| = 1 + 1 = 2 <= 1e9。

题目分析：构造。显然，对于任意两个非零数ai, aj，都可以构造出bi = aj， bj = -ai  使得ai * bi + aj * bj = 0。

解题步骤：当n为偶数时，可以找出n / 2对ai, aj，构造bi = aj, bj = -ai，此时|b1|+|b2|+…+|bn| = |a1|+|a2|+…+|an| <= 1e4 * 1e5 = 1e9。当n为奇数时，可以挑出3个元素，ai, aj, ak，因为这三个元素都不等于0，根据抽屉原理，一定有两个元素同正或者同负，即一定存在两个元素相加不等于0。假设有ai + aj ≠ 0，那么可以构造bi = ak, bj = ak， bk = -(ai + aj)，使得ai * bi + aj * bj + ak * bk = 0。n为奇数，n – 3一定为偶数或0，那么剩下的元素则可以按n为偶数时的方法构造出对应的b数组中的元素。此时|b1|+|b2|+…+|bn| = |a1|+|a2|+…+|an| <= 1e4 * 1e5 = 1e9。

错误：赛时有想到对于ai, aj，可以构造bi = aj, bj = -ai。但却想把第一个元素挑出来作为ai，然后其他元素的和作为aj来构造b数组，结果就是因为b数组元素的和可能大于1e9而WA。

 

AC代码：

#include<iostream>

 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], b[N];

 

void solve(){

        int n;

        scanf("%d", &n);

        for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d", &a[i]);

       

        if(n & 1){

                 int x = n - 3;

                 for(int i = 1;i <= x;i++){

                         if(i & 1) b[i] = a[i + 1];

                         else b[i] = -a[i - 1];

                 }

                

                 if(a[n - 2] + a[n - 1] != 0){

                         b[n - 2] = b[n - 1] = a[n];

                         b[n] = -(a[n - 2] + a[n - 1]);

                 }

                 else if(a[n - 2] + a[n] != 0){

                         b[n - 2] = b[n] = a[n - 1];

                         b[n - 1] = -(a[n] + a[n - 2]);

                 }

                 else if(a[n - 1] + a[n] != 0){

                         b[n - 1] = b[n] = a[n - 2];

                         b[n - 2] = -(a[n - 1] + a[n]);

                 }

        }

        else{

                 for(int i = 1;i <= n;i++){

                         if(i & 1) b[i] = a[i + 1];

                         else b[i] = -a[i - 1];

                 }

        }

       

        for(int i = 1;i <= n;i++) printf("%d ", b[i]);

        printf("\n");

}

 

int main(void){

        int t;

        scanf("%d", &t);

        while(t--) solve();

       

        return 0;

}

时间复杂度：O（n）。

空间复杂度：O（n）。