2022 年 9月随笔档案 - Smallbasic

LCM 序列

摘要：求有多少个长度为

n

$n$ 的正整数序列，满足

m

$m$ 个形如

lcm (A_{X_{i}}, A_{Y_{i}}) = C_{i}

$\text{lcm}(A_{X_i},A_{Y_i})=C_i$ 的限制，

C_{i}

$C_i$ 给的是它的唯一分解。不难发现 lcm 是对于每个质因子上的指数取

max

$\max$ ，容易将限制转化成一张图，对每一组限制存在边权为

C_{i}

$C_i$ 的无向边阅读全文

posted @ 2022-09-30 08:21 Smallbasic 阅读(80) 评论(0) 推荐(0) 编辑

mex数组

摘要：给定数列

a

$a$ ，对于每个

i

$i$ 询问多少个区间的 mex 等于

i

$i$ 考虑转化成求多少个

mex \geq i

$\text{mex} \ge i$ 的区间，设为

a n s_{i}

$ans_i$ ，容易发现，设右端点为

r

$r$ ,

p_{i} = max j \leq r | a_{j} = i

$p_i = \max{j\le r|a_j=i}$ ，则 mex 不小于于

i

$i$ 的合法左端点数量为阅读全文

posted @ 2022-09-29 22:05 Smallbasic 阅读(227) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[国家集训队] Crash 的文明世界

摘要：考虑

k

$k$ 次方十分的难受，我们考虑用第二类斯特林数转化一下。考虑经典式子：

m^{n} = \sum_{i = 0}^{n} {\begin{matrix} n i \end{matrix}} (\binom{m}{i}) i!

$m^n=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix} n \ i\end{Bmatrix} \binom{m}{i}i!$ 我们有： $$\sum_{i=1}^n dist(x,i)^k=\sum_{i 阅读全文

posted @ 2022-09-28 21:13 Smallbasic 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P6295 有标号DAG计数

摘要：先不考虑弱联通的条件，设

f (n)

$f(n)$ 表示

n

$n$ 个点的DAG个数，考虑容斥，枚举一层有

i

$i$ 个入度为

0

$0$ 的点：

f (n) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} (\binom{n}{i}) 2^{i (n - i)} f (n - i)

$f(n)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i} 2^{i(n-i)} f(n-i)$ 这个式子不怎么好卷。显然 $\binom{n 阅读全文

posted @ 2022-09-28 16:37 Smallbasic 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOIP2021] 方差

摘要：首先考虑

V [X] = E [X^{2}] - E [X]^{2}

$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$ ，答案可以化作：

n \sum_{i = 1}^{n} a^{i} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i})^{2}

$n\sum_{i=1}^n a^i - (\sum_{i=1}^n a_i)^2$ 然后观察操作，进行一次操作本质上是交换了差分序列中相邻两个数，也就是说我们可以任意重排这个差分序列。方差的意义实际上是数据的混乱程度，我们可阅读全文

posted @ 2022-09-23 21:51 Smallbasic 阅读(163) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斯特林数的四种求法

摘要：~~有一回对我说道，“你读过书么？”我略略点一点头。他说，“读过书，……我便考你一考。组合数学里的斯特林数，怎样说的？”我想，AKIOI的人，我也配答么？便回过脸去，不再理会。田乙己等了许久，很恳切的说道，“不会罢？……我教给你，记着！这些数应该记着。将来做OIer的时候，省选要用。”我暗想我和省选阅读全文

posted @ 2022-09-03 15:50 Smallbasic 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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