2022 Jiangsu Collegiate Programming Contest

A. PENTA KILL!

简单模拟。

B. Prime Ring Plus

大于 $2$ 的素数只可能是奇数，因此相邻两个数一定是一奇一偶，容易想到二分图。

但是环上每个点有两个相邻的点，网络流求匹配是将与源汇点相连的边流量设为 $2$ 即可。

C. Jump and Treasure

单次 dp 可以显然的用单调队列优化。

对于每个关都跑一遍，总点数是调和级数，可以通过。

D. Finding Pairs

能一起选的点 $\bmod k$ 意义下都相同，我们按 $\bmod k$ 的结果分类。

容易想到莫队，对于每个同余类，维护一个数组 $f_{0/1.0/1}$ 表示当前左右两边有没有被选的情况的最大值。加入数是好做的，但是不能支持删除，回滚即可。

E. Playing Cards

我们把题意做转化：Alice 每次能用魔法选择 Bob 的一张牌使它的数字减去 $k$，或者选择自己的一张牌匹配 Bob 的一张更小的牌。要求使用魔法的次数最少。

不难想到贪心策略，当要匹配时，Alice 最大的牌一定会匹配 Bob 的最大的牌。我们每次取出 Alice 和 Bob 的最大牌，能匹配就匹配，否则就是用魔法将 Bob 的牌减去 $k$ 后放回去。

注意直接维护这个过程是 $O(n^2\log n)$ 的，需要使用数据结构维护。

F. Pockets

显然的生成函数。

设 $f(x)=\sum v_ix^{w_i}$，一开始会想到将所有物品的 $w_i$ 减去 $1$，但是会出现 $x^{-1}$ 项，它是没有意义的，所以考虑老实写式子，枚举购买次数：

$$\sum_{i=0}^m [x^{k+i}]{1\over 1-x} f^i(x)$$

很容易想到乘上 $x^{-i}$ :

$$\sum_{i=0}^m [x^k]{1\over 1-x} {f^i(x)\over x^i}$$

但是如同之前所说，$f(x)\over x$ 是没有意义的，我们考虑乘上 $x^mf^m(x)$ 来消去分母上的 $x$:

$$[x^{m+k}] {f^m(x)\over 1-x}\sum_{i=0}^m \left({x\over f(x)}\right)^{m-i}=[x^{m+k}] {x^{m+1}-f^{m+1}(x)\over (1-x)(x-f(x))}$$

多项式快速幂即可。

G. GCD on Bipartite Graph

条件等价于对于任意一个质数，一定有一边它的倍数的出现次数小于 $2$。

不妨设 $n\le m$，那么显然对于所有 $\le {4\over 4}$ 的质数，第一个集合中至多只能出现一次它的倍数。可以推出当 $n+m$ 充分大的时候，任意一个质数的倍数在第一个集合中只会出现 $1$ 次。

于是对于 $max(n,m)\le 30$ 的情况暴力搜索，其它情况在第一个集合放素数即可。

H. Super Gray Pony

这个构造方式就是格雷码，根据经典结论，$a_x=x\oplus (x>>1)$，题意转化为给你一个 $n$ 位二进制数，进行 $k$ 次 $x\oplus (x>>1)$ 后的结果。

显然，最后 $x_{i+j}$ 会在 $x_{i}$ 异或上 $\binom{k}{j}$ 次，显然只有它为奇数才有用。也就是说有贡献的 $j$ 一定是 $k$ 的子集。

设 $f_i$ 表示考虑了 $k$ 的后 $i$ 位的结果，如果第 $i$ 位是 $0$ 那么无事发生，否则可以观察到 $f_i = f_i\oplus (f_{i-1}>>2^i)$，bitset 即可。

I. Cutting Suffix

有两个字母不同，可以构造方案使得答案为 $0$。否则所有字母都相同，答案显然为 $n-1$。

J. Balanced Tree

设 $f_x$ 表示大小为 $x$ 的 super balanced tree 的个数，如果 $x$ 是奇数，则 $f_x = f_{{x-1\over 2}}^2$，否则 $f_x = 2f_{x\over 2}f_{{x\over 2}-1}$。

发现 $f_x$ 一定是 $2$ 的次幂，考虑求出指数。设 $g_{i,0/1,0/1}$ 表示从下往上考虑到第 $i$ 位，第 $i$ 位为 $0/1$，下面是否有借位的次幂个数，dp 即可。

K. aaaaaaaaaaA heH heH nuN

简单构造。

L.Collecting Diamonds

显然可以按中间的 B 讲串分成若干组，每组形如 AAABCCC。

我们发现，只有删除 B 的操作会影响后面的奇偶性。所以我们尽量让每个组都删除一次 B，并在删除 B 之前删除尽可能多的 AC。

策略是显然的：先从后往前删去一次能删的 AC 数大于 $1$ 的组。然后从前往后扫，记录在前面删了几次 B 即可。