高等数学

函数极限：

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 去心邻域内有定义，且存在常数 $A$，$\forall \epsilon > 0\exists \delta > 0\forall 0<|x-x_0|<\delta$，$|f(x)-A|<\epsilon$，则称 $\lim_{x\rightarrow x_0}=A$。 简单来看就是函数从两侧不断逼近 $x_0$ 的结果。我们可以类似的定义左极限和右极限来表示从左侧和右侧逼近。

极限的运算法则挺暴力。设 $\lim f(x) = A, \lim g(x) = B$，则 $\lim f(x)\pm g(x)=A\pm B,\lim f(x)g(x)=AB, \lim {f(x)\over g(x)}={A\over B} (B\neq 0)$，前两个设 $f(x)=A+\alpha, g(x)=B+\beta$ ($\alpha,\beta$ 均为无穷小)即可证明。考虑第三个法则：

令 $\gamma = {A+\alpha \over B+\beta}-{A\over B}={B\alpha - A\beta \over B(B+\beta)}$，取 $\epsilon=|{B\over 2}|>0$，则 $\exists \delta > 0$ $\forall 0<|x-x_0|<\delta$，$|g(x)-B|<|{B\over 2}|$，故在某去心邻域内，$|g(x)|>|{B\over 2}|$,$|{2\over B}|>|{1\over g(x)}|$，则 $1\over B(B+\beta)$ 在此去心邻域内有界，所以 $\gamma$ 为无穷小，$\lim {f(x)\over g(x)}={A\over B}+\gamma={A\over B}$

夹逼准则：

若在某去心邻域内：$g(x)<f(x)<h(x)$ 且 $\lim g(x)=\lim h(x)=A$，则 $\lim f(x) = A$。

由此可以证明重要极限：$\lim_{x\rightarrow 0}{\sin x\over x}=1$(考虑 $1<{x\over \sin x}<{1\over \cos x}$)

无穷小的比较：

作商求极限即可。特别的，$\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小记作 $\beta=o(\alpha)$。

然后有几个重要的等价无穷小：$x\sim \sin x,\cos x\sim 1-{x^2\over 2},tan x\sim x, \log_a(x+1)\sim {x\over \ln a},\ln(1+x)\sim x,a^x-1\sim x\ln a,e^x-1\sim x,(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$

求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小来代替。比如求 $\lim_{x\rightarrow 0} {\sin x - \tan x \over {(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}}$，可以考虑 $\sqrt[3]{1+x^2}-1 \sim {x^2\over 3},\sqrt{1+\sin x}-1\sim {\sin x\over 2} \sim {x\over 2}$，$\sin x - \tan x = \tan x(\cos x-1), \tan x \sim x, (\cos x-1)\sim -{x^2\over 2}$,所以原式等于 $\lim_{x\rightarrow 0} {{-x^3 \over 2}\over {x^2\over 3}\times {x\over 2}}=-3$

导数

定义为 $f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} {f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}$，基本函数求导简单，只需要注意 $g(f(x))=x\rightarrow g'(y)={1\over f'(g(y))}$。

通过定义可以发现，可导一定连续，但是连续不一定可导。例如 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处就不可导。

隐函数求导就是等式两边分别求导之后解方程，可以求一些图形的切线方程。

中值定理

费马引理：若 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内可导且 $f(x_0)$ 是 $U(x_0)$ 中的一个极值点，则 $f'(x_0)=0$，证明考虑极限的保号性。

然后就可以得出罗尔中值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 中连续，$(a,b)$ 中可导，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists \xi\in (a,b), f'(\xi)=0$，证明分函数是一条平行于x轴的直线和存在至少一个极值点的情况讨论就行。

罗尔中值定理可以推出拉格朗日中值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 中连续，$(a,b)$ 中可导，则 $\exists \xi \in (a,b),f'(\xi)={f(a)-f(b)\over a-b}$

拉格朗日中值定理实际上是柯西中值定理的特殊情况：考虑函数$F(x)$ 和 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 中连续，$(a,b)$ 中可导，且 $\forall x, F'(x)\neq 0$，$\exists \xi\in (a,b), {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}={f'(\xi)\over F'(\xi)}$。

我们这里直接考虑证明柯西中值定理：原式子可化为 $f'(\xi)- {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)} \cdot F'(\xi)=0$，我们考虑构造函数 $\varphi(x)=f(x)-f(b)-{f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}(F(x)-F(b))$，发现 $\varphi'(x)=f'(x)- {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}\cdot F'(x)$，和之前化出来的式子很想，并且它满足罗尔中值定理：连续、可导、$\varphi(a)=\varphi(b)=0$，所以 $\exists \xi \in (a,b),\varphi'(\xi)=f'(\xi)- {f(a)-f(b)\over F(a)-F(b)}\cdot F'(\xi)=0$，原式得证。

洛必达法则

用来求 $0\over 0$ 或 $\infty \over \infty$ 型的极限。

若 $\lim_{x\rightarrow a} {f(x)\over g(x)}$ 为 $0\over 0$ 型的极限，极限存在且在 $a$ 的某去心邻域内 $f'(x),g'(x)$ 存在且 $g'(x)$ 非零，则 $\lim_{x\rightarrow a} {f(x)\over g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} {f'(x)\over g'(x)}$

考虑此时极限的取值和 $f(a),g(a)$ 无关，不妨设 $f(a)=g(a)=0$,由条件保证了它还是连续的，由柯西中值定理：${f(x)\over g(x)}={f(x)-f(a)\over g(x)-g(a)}={f'(\xi)\over g'(\xi)}$，于是原式为 $\lim_{\xi \rightarrow a} {f'(\xi)\over g'(\xi)}$

原式为 $\infty\over \infty$ 型的极限同理，不过要注意使用条件。一般还是万能的。

泰勒

一个简单的理解，我们考虑用多项式逼近 $f(x)$，则 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{f''(x_0)(x-x_0)^2\over 2!}+{f'''(x_0)(x-x_0)^3\over 3!}+...+{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\over n!}+o(x^{n})$

常见的泰勒展开在生成函数里面应该见过很多次了。

考虑求极限的万能(划掉)方法就是泰勒完再洛

咕咕咕