[山东神秘题]逆序对

求长度为 $n$ 的逆序对数为 $k$ 的排列的个数。 $n,k\le 100000$

Sol:

$\Theta(n^3)$ 的dp是显然的，或许能多项式优化，不过有更简单的做法。

我们设 $s_i$ 表示以 $i$ 为右端点的逆序对个数，显然一组 $s_i$ 唯一对应一个序列。我们要求 $s_i\le i-1,\sum s_i=k$。

考虑容斥，我们假设有 $i$ 个位置不满足第一个限制，显然 $i$ 最大是 $\Theta(\sqrt(k))$ 的。考虑设 $f_{i,j}$ 表示从 $1~n$ 中选 $i$ 个数和为 $j$ 的方案，直接插板法就能得出答案。我们发现这个状态不太好转移。

考虑这样来枚举选出的集合：维护一个递减数列，每次操作对所有数都加一，操作结束后可以选择是否在末尾增添一个 $1$。

再令 $f_{i,j}$ 表示在末尾增添 $i$ 次 $1$ 后和为 $j$ 的方案数（注意数列里的数不能超过 $n$），我们有：

$$f_{i,j}=f_{i,j-i}+f_{i-1,j-i}-f_{i-1,j-n-1}$$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200005, mod = 1e9 + 7;

int n, k, fac[N], ifac[N];

inline int power(int a, int b) {
	int t = 1, y = a, k = b;
	while (k) {
		if (k & 1) t = (1ll * t * y) % mod;
		y = (1ll * y * y) % mod;
		k >>= 1;
	} return t;
}

inline int C(int n, int m) {
	return 1ll * fac[n] * (1ll * ifac[m] * ifac[n - m] % mod) % mod;
}

int f[505][N];

int main() {
	cin >> n >> k;
	fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= n + k; ++i) fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % mod;
	ifac[n + k] = power(fac[n + k], mod - 2);
	for (int i = n + k - 1; ~i; --i) ifac[i] = (1ll * (i + 1) * ifac[i + 1]) % mod;
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 500; ++i) {
		for (int j = i; j <= k; ++j) {
			f[i][j] = f[i][j - i] + f[i - 1][j - i];
			if (f[i][j] >= mod) f[i][j] -= mod;
			if (j > n) {
				f[i][j] -= f[i - 1][j - n - 1];
				if (f[i][j] < 0) f[i][j] += mod;
			}
		}
	} int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= k; ++i) {
		int del = 0;
		for (int j = 0; j <= 500; ++j) {
			if (j & 1) {
				del -= f[j][i];
				if (del < 0) del += mod;
			} else {
				del += f[j][i];
				if (del >= mod) del -= mod;
			}
		} ans += 1ll * del * C(n + k - i - 1, n - 1) % mod;
		if (ans >= mod) ans -= mod;
	} printf("%d\n", ans);
	return 0;
}