[联考]钻石教练

给定 $n$，和一个 $k$ 次多项式，对于每个 $m\le n$，设 $\sigma$ 为一个大小为 $m$ 且拆出的所有循环大小都为 $3$ 的倍数的置换，$|sp(\sigma)|$ 为它拆出的循环数，求所有 $F(|sp(\sigma)|)$，要求复杂度 $\Theta(nk)$

Sol：

机房大佬的神奇做法看不懂，只会题解的暴力推式子。

考虑把多项式写成牛顿级数（下降幂多项式的系数乘上一个 $i!$），实际上要求：

$$\sum_{\sigma} \sum_{i=0}^k b_i \binom{|sp(\sigma)|}{i}=\sum_{i=0}^k b_i \sum_{\sigma} \binom{|sp(\sigma)|}{i}$$

这东西看着就像用生成函数做，后面实际上是对任意满足条件的置换中选出 $i$ 个循环的方案数求和。

环排列的 EGF 为 $\sum {x^i\over i}=-{ln 1-x}$，为了满足 3 的倍数的限制，我们这样我们考虑套路单位根，可知 $3$ 的倍数大小的循环的 EGF 为：

$$G=-{\ln (1-x)+\ln(1-\omega x)+\ln(1-\omega^2 x)\over 3}$$

置换是由许多循环构成的，回忆 $e^x$ 的泰勒展开，我们发现满足条件的置换的 EGF 为 $F=e^{G(x)}$，由于我们要对选出 $i$ 个置换的方案数求和，引入新的变量 $y$ 表示选或不选，则有 $F=e^{(1+y)G}$，从 $p$ 阶满足条件的置换中选出 $q$ 个循环的方案数为 $p![x^py^q]F$考虑两边对 $x$ 求偏导：

$${\delta F \over \delta x}=(1+y)G'F={1+y\over 3}({{1\over 1-x}+{\omega \over 1- \omega x}+{\omega^2 \over 1 - \omega^2 x}})F$$

现在同时取 $[x^py^q]$ 项系数：

$$(p+1)[x^py^q]F={1\over 3}([x^py^q]({{1\over 1-x}+{\omega \over 1- \omega x}+{\omega^2 \over 1 - \omega^2 x}})F+[x^py^{q-1}]({{1\over 1-x}+{\omega \over 1- \omega x}+{\omega^2 \over 1 - \omega^2 x}})F)$$

$$=\sum_{i=0}^p [x^i]({{1\over 1-x}+{\omega \over 1- \omega x}+{\omega^2 \over 1 - \omega^2 x}})\cdot ([x^{p-i}y^q]F+[x^{p-i}y^{q-1}]F)$$

$$=\dfrac 13\sum_{i=0}^p\left(1+\omega^{i+1}+\omega^{2i+2}\right)\cdot\left([x^{p-i}y^q]F+[x^{p-i}y^{q-1}]F\right)$$

考虑递推，不妨设 $f_{p,q}=[x^py^q]F$

$$(p+1)f_{p+1,q}=\dfrac 13\sum_{i=0}^p\left(1+\omega^{i+1}+\omega^{2i+2}\right)\cdot\left(f_{p-i,q}+f_{p-i,q-1}\right)$$

$$=\dfrac 13\left(3(f_{p-2,q}+f_{p-2,q-1})+\sum\limits_{i=3}^p\left(1+\omega^{i+1}+\omega^{2i+2}\right)\cdot\left(f_{p-i,q}+f_{p-i,q-1}\right)\right)$$

$$=\dfrac 13\left(3(f_{p-2,q}+f_{p-2,q-1})+\sum\limits_{i=0}^{p-3}\left(1+\omega^{i+1}+\omega^{2i+2}\right)\cdot\left(f_{p-3-i,q}+f_{p-3-i,q-1}\right)\right)$$

$$=\dfrac 13\left(3(f_{p-2,q}+f_{p-2,q-1})+3(p-2)f_{p-2,q}\right)$$

$$=f_{p-2,q-1}+(p-1)f_{p-2,q}$$

$$f_{p,q}=\dfrac1pf_{p-3,q-1}+\dfrac{p-2}pf_{p-3,q}$$

再令 $g_{p,q}=p!f_{p,q}$，则

$$g_{p,q}=p!\left(\dfrac1pf_{p-3,q-1}+\dfrac{p-2}pf_{p-3,q}\right)$$

$$=(p-1)!f_{p-3,q-1}+(p-2)(p-1)!f_{p-3,q}$$

$$=(p-1)(p-2)(p-3)!f_{p-3,q-1}+(p-1)(p-2)^2(p-3)!f_{p-3,q}$$

$$=(p-1)(p-2)(g_{p-3,q-1}+(p-2)g_{p-3,q})$$

边界条件 $g_{1,q}=g_{2,q}=0$，$g_{3,q}=2[q\le1]$。$O(nk)$ 递推即可