kirasa

T3 魔法少女(kisara)

我们先初步化简一下原式，即：

$\texttt{ans}=\sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(\sum\limits_{i=l'}^{r'}a_i)^2+\sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(r-l+2)(r'-l')a_{l'}a_{r'}$

将式子中后面那一堆中的 $r - l + 2$ 提出来，即：

$\texttt{ans}=\sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(\sum\limits_{i=l'}^{r'}a_i)^2+(r-l+2)\sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(r'-l')a_{l'}a_{r'}$

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我们单独分析一下 $\texttt{ans}$ 前面那一堆，将平方拆开，会变成：

$\texttt{ans2} = \sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(\sum\limits_{l'}^{r'}a_i)^2=\sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(\sum\limits_{l'}^{r'}a_i^2+2\times\sum\limits_{l'\leq i<r\leq r'}a_ia_j)$

想象一下最后去掉前两个 $\sum$ 后合并同类项，那么

对于 $a_i^2$ 的系数：$(i-l+1)\times(r-i+1)$

对于 $a_ia_j(i<j)$ 的系数：$2\times (i-l+1)\times (r-j+1)$

那么我们就可以重写一下 $\texttt{ans2}$，即：

$\texttt{ans2} = \sum\limits_{i = l}^r (i - l + 1)(r - i + 1)a_i^2 + \sum\limits_{l\leq i < j\leq r}2(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j$

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观察 $\texttt{ans2}$，我们发现现在的时间复杂度瓶颈还是在于后面那一堆，那我们接下来再来单独分析一下 $\texttt{ans2}$ 后面那一堆。

我们想要让后面的那一堆达到类似于 $(\sum\limits_{i = l}^rx_ia_i)\times (\sum\limits_{i = l}^ry_ia_i)$ 的效果。

由于后面那一堆的式子的系数为 $2$，所以我们可以尝试把它写开：

$\texttt{ans3} = \sum\limits_{l\leq i < j\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j + \sum\limits_{l\leq i < j\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j$

发现我们现在只有 $i < j$ 的情况，没有 $j < i$ 的情况，我们可以先暂时将后面那一堆的 $i$ 和 $j$ 两个变量交换一下：

$\texttt{ans3} = \sum\limits_{l\leq i < j\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j + \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(j - l + 1)(r - i + 1)a_ia_j$

很显然，我们发现，虽然有了 $i < j$ 和 $j < i$ 的情况，但是前面的系数对不上，所以我们可以将后面那个式子转化一下：

$\texttt{ans3} = \sum\limits_{l\leq i < j\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j + \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}[i - l + 1 - (i - j)][r - j + 1 - (i - j)]a_ia_j$

设 $\texttt{ans4}$ 为后面那一堆，把后面的化开：

$\texttt{ans4} = \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j + \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - j)^2a_ia_j - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - j)(r - l + i - j + 2)a_ia_j$

第一项不就是我们想要的东西吗？

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我们发现，$\texttt{ans4}$ 的最后一项看起来非常的恶心，但是我们发现第二项的系数里有 $i - j$ 和前面的 $i - j$ 共同组成一个 $(i - j)^2$，还有 $r - l + 2$ 与前面的 $i - j$ 共同组成一个 $(r - l + 2)(i - j)$，即：

$\texttt{ans5} = \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - j)^2a_ia_j + \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j$

那么 $ans5$ 的第一项和 $ans4$ 的第二项就可以消掉了。

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将 $\texttt{ans5}$ 代进 $\texttt{ans4}$ 为：

$\texttt{ans4} = \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j$

非常简洁！

继续带回 $\texttt{ans3}$，即：

$\texttt{ans3} = \sum\limits_{l\leq i < j\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j + \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j$

我们发现，前面那两项合并之后就是 $\sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{i = l}^r(i - l + 1)(r - i + 1)a_i^2$

相当于就是缺少了 $i = j$ 的情况，只需要抠掉就是上面的式子了。

继续带回 $\texttt{ans3}$，即：

$\texttt{ans3} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{i = l}^r(i - l + 1)(r - i + 1)a_i^2 - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j$

再带回 $\texttt{ans2}$，即：

$\texttt{ans2} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{i = l}^r(i - l + 1)(r - i + 1)a_i^2 - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j + \sum\limits_{i = l}^r (i - l + 1)(r - i + 1)a_i^2$

第二项和第四项又可以消掉哩！$\texttt{ans2}$ 就变成了：

$\texttt{ans2} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j$

最后再带回 $\texttt{ans}$ 就是：

$\texttt{ans} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - \sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(r - l + 2)(i - j)a_ia_j + (r-l+2)\sum\limits_{l'=l}^r\sum\limits_{r'=l'}^r(r'-l')a_{l'}a_{r'}$

重写一下 $\texttt{ans}$ 的第二项和第三项：

$\texttt{ans} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - (r - l + 2)\sum\limits_{l\leq j < i\leq r}(i - j)a_ia_j + (r-l+2)\sum\limits_{l\leq i\leq j\leq r}(j - i)a_{i}a_{j}$

第二项中，发现当 $i = j$ 时，$i - j$ 直接等于 $0$ 了，对答案没有影响，我们可以直接将 $i = j$ 的情况放进去：

$\texttt{ans} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - (r - l + 2)\sum\limits_{l\leq j \leq i\leq r}(i - j)a_ia_j + (r-l+2)\sum\limits_{l\leq i\leq j\leq r}(j - i)a_{i}a_{j}$

交换第二项的 $i$ 和 $j$ 得：

$\texttt{ans} = \sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j - (r - l + 2)\sum\limits_{l\leq i \leq j\leq r}(j - i)a_ia_j + (r-l+2)\sum\limits_{l\leq i\leq j\leq r}(j - i)a_{i}a_{j}$

然后第二项和第三项就又可以消掉啦！

最后 $\texttt{ans}$ 就是 $\sum\limits_{i = l}^r\sum\limits_{j = l}^r(i - l + 1)(r - j + 1)a_ia_j$

重写一下 $\texttt{ans}$ 就是：

$\texttt{ans} = [\sum\limits_{i = l}^r(i - l + 1)a_i][\sum\limits_{j = l}^r(r - j + 1)a_j]$

只需要线段树维护 $i\times a_i$ 之和和 $a_i$ 之和即可，此步骤支持区间修改和区间求和。

时间复杂度 $\mathcal{O}(q\log n)$