欧拉数

某天在考场上碰到了板题，但是没看出来，当场爆零。

简单来讲，$\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>$ 表示满足长度为 $n$ 且恰好有 $k$ 个位置满足 $\pi_i < \pi_{i+1}$ 的排列 $\pi$ (这样的位置后文记为“升高”)的个数。它的三角形前几行打出来长这样：

$$1$$

$$1\space\space\space\space 0$$

$$1\space\space\space\space 1 \space\space\space\space 0$$

$$1\space\space\space\space 4\space\space\space\space 1\space\space\space\space 0$$

$$1\space\space\space 11 \space\space\space 11 \space\space\space 1 \space\space\space 0$$

$$1\space\space 26 \space\space\space 66 \space\space\space 26 \space\space\space 1 \space\space 0$$

找规律？考场上找了很久也没找出来，还是老老实实dp。假设现在已经有了一个长度为 $n$ 的排列，考虑 $n$ 插入的位置带来的影响。

如果 $n$ 插在最后边，则增加了一个升高，即有 $\left<\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right>$ 的贡献。
如果 $n$ 插在最前边，相当于什么都没干，即有 $\left<\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right>$ 的贡献。
如果 $n$ 插在任意一个升高的中间，则破坏了一个升高又新增了一个，也相当于啥也没干。即有 $k\left<\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right>$ 的贡献。
如果 $n$ 插在不是任意一个升高的中间，则新增了一个升高。即有 $(n-k-1)\left<\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right>$ 的贡献。

把贡献累加起来，有递推式：

$$\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>=(k+1)\left<\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right>+(n-k)\left<\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right>$$

然后这东西显然有对称性，即：

$$\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>=\left<\begin{matrix}n\\n-k-1\end{matrix}\right>$$

其实也可以用如下式子：

$$\left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right>=\sum_{i=0}^k\left(\begin{matrix}n+1\\i\end{matrix}\right)(k+1-i)^n(-1)^i$$

证明的话数学归纳法，往递推式代再推一大坨就好。它显然是个卷积的形式，可以直接$\Theta(n\log n)$求行。

容易注意到

$x^n=\sum_{k=0}^n \left<\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right> \binom{x+k}{n}$