LGV引理学习笔记

一个神奇的东西。今年NOI考了，算是填个坑吧。话说去年徐神在林荫集训的时候考场上自己把这东西推了出来（sto 徐神 orz）

仅仅适用于有向无环图。

令 $\omega(P)$ 表示路径 $P$ 上的边权积，$e(u,v)$ 表示 $u$ 到 $v$ 的所有路径额的 $\omega$ 值之和，即 $\sum \omega(P:u\rightarrow v)$。有两个大小为 $n$ 的集合， 分别为起点集合 $A$ 和 终点集合 $B$, 令矩阵 $M$ 为：

$$M=\left(\begin{matrix}e(A_1,B_1)&e(A_1,B_2)&...&e(A_1,B_n)\\. & &&.\\.&&&.\\.&&&.\\e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&...&e(A_n,B_n)\end{matrix}\right)$$

再令 $S:A\rightarrow B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一组不相交路径， $\sigma(S)$ 表示一个排列，$\S_i$ 表示从 $A_i$ 到 $B_{\sigma(S)_i}$ 的路径，且对于 $i\neq j$, $S_i,S_j$ 不相交。 让 $\mu(\sigma)$ 表示 $\sigma$ 中的逆序对个数，则：

$$\det M = \sum_{S:A\rightarrow B} (-1)^{\mu(\sigma(S))} \prod_{i=1}^n \omega(S_i)$$

证明？OI无证明 大概是写出行列式的的表达式然后推到，最后构造一个双射证上面那个式子里的 $S$ 定义换成相交路径就变成 0， 反正没啥用我具体的也不会就不写了。

洛谷版题：

网格上路径单调，只有 $\sigma = \{1,2,3,...,n\}$ 一种情况才能相交。我们设所有边权为 $1$, $e(a_i,b_j)$ 就是个组合数学问题，在 $b_j-a_i+n-1$ 步里选 $n-1$步横着走。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 105, mod = 998244353;

int f[N][N], m, n;

inline int power(int a, int b) {
	int k = b, y = a, t = 1;
	while (k) {
		if (k & 1) t = (1ll * t * y) % mod;
		y = (1ll * y * y) % mod; k >>= 1; 
	} return t;
}

inline int det() {
	int ans = 1, sg = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
			while (f[j][i]) {
				const int tmp = (1ll * f[i][i] * power(f[j][i], mod - 2)) % mod;
				for (int k = i; k <= n; ++k)
					f[i][k] = (1ll * f[i][k] - 1ll * tmp * f[j][k]) % mod + mod % mod;
				swap(f[i], f[j]); sg = -sg;
			}
		} if (!f[i][i]) return 0;
		ans = (1ll * ans * f[i][i]) % mod;
	} return (ans * sg + mod) % mod;
}

int fac[2000005], invfac[2000005], a[N], b[N];

inline int C(int n, int m) {
	if (n < m) return 0;
	return ((1ll * (1ll * fac[n] * invfac[m]) % mod) * invfac[n - m]) % mod;
}

int main() {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2000000; ++i) fac[i] = (1ll * i * fac[i - 1]) % mod;
	invfac[2000000] = power(fac[2000000], mod - 2);
	for (int i = 1999999; ~i; --i) invfac[i] = (1ll * (i + 1) * invfac[i + 1]) % mod;
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d%d", &m, &n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
		memset(f, 0, sizeof f);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
				f[i][j] = C(m - 1 + b[j] - a[i], m - 1);
		printf("%d\n", det());
	} return 0;
}