摘要：
Link Description \(q\) 次询问，每次给出 \(n\)、\(m\) 和 \(a\)，求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m \sigma_1(gcd(i,j))[\sigma_1(gcd(i,j))\leq a]\) Solution 按套路枚举 \(gcd 阅读全文
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Link Soluiton 令 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的连通无向图个数。 枚举连通块个数，然后递归定义 \(f_n=\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i!}\sum_{k_1+\dots+k_i=n-1} \binom{n-1}{k_1,\dots,k_i}\prod_{ 阅读全文
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Link Solution 答案贡献只与区间长度最大的和最小的有关，故长度介于它们之间的选不选无所谓。再贪一下，发现区间加得越多有可能会更优，那么一定要把所有能加的区间都加进去才最好。所以按长度排序之后，选了的区间一定是连续的一段。 考虑一个朴素的暴力算法，我们枚举最大区间和最小区间，然后把其间的所 阅读全文
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Link Solution 非常板的一道题。 看到区间异或和就能想到转换为前缀异或，即 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{i-1} s_i \oplus s_j\) 又想到位运算各位之间互不干涉，所以想到按位来考虑。以其中一位为例，能构成一个 01 序列，对它做前缀异或后，记为 阅读全文
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Link Description 给定一棵有标号的树，求恰好与该树有 \(k\) 条边相同的树的个数。分别对 \(k\in[0,n)\) 求值。 Solution 主要考察对矩阵树定理的理解程度。我们知道由矩阵树定理求得的矩阵的行列式的值是该图所有生成树中边权乘积的和，即 \(\sum_{T}\pr 阅读全文
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Link Description 给定一个排列，每次删除一个元素，输出当前逆序对个数。 Solution 原序列的逆序对个数很好求。现在考虑删除一个数对答案的贡献。对每个元素，我们记一个它的大小 \(v\)，它在序列中的位置下标 \(pos\)，它被删除的时间 \(t\)，对于没有被删除的元素，其删 阅读全文
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Link Description 有 \(m\) 张牌，其中有一张是王牌。将这些牌均匀随机打乱 \(n\) 次，设有 \(x\) 次第一张为王牌，求 \(x^k\) 的期望值。 答案对 \(998244353\) 取模。 Solution 容易知道一次随机后第一张牌为王牌的概率为 $$\begin 阅读全文
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Link Description 给定长为 \(n\) 的数列 \(a_i\)，随机地选取两个数 \(l,r\in [1,n]\)，如果 \(l>r\)，则交换 \(l,r\)。求区间 \([l,r]\) 中不同数字个数的期望。 Solution 我们只需要求出所有区间内的不同数字个数和再除以区间个 阅读全文
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Description 给定一个长为 \(n\) 的序列 \(a_i\)，求最大的区间中位数，且该区间长度大于 \(k\)。 Solution 这道题的转换挺巧妙。 对于一个数 \(x\)，若其大于等于一个区间的中位数，当且仅当大于等于它的数的个数 \(>\) 小于它的数个数。这两类在序列中重新赋值 阅读全文
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Link Solution 一个小 trick ，只需要判断是否出现过任何长度为 \(\lfloor \frac{d}{2} \rfloor\) 即可，长度大于这个的可以不管，因为短串一定是长串的子串，后者约束条件反而更强，满足前者一定满足后者。 那么就将 \(s\) 中长为 \(\lfloor \ 阅读全文