[SCOI2012] 滑雪

Description

给定一个带边权有向图。现在从点 \(1\) 开始走，走的过程中可以无代价回溯任意多步，求在经过最多点的情况下（重复的点算一次），最小边权和是多少。

Solution

先从点 \(1\) BFS，能走到的点就是第一小问答案。根据回溯条件，在最优答案中，每条边至多走一次（考虑走两次的话，一定有一次是不必要的，可以通过调整回溯策略来消去）。以及走过的边不会形成环，否则可以通过在形成环的那一步通过回溯操作到达相同的点，且没有花费。所以所有所经过的路径的集合构成一棵外向树。于是问题就转换为了，求原图的一棵以点 \(1\) 为根的外向最小生成树。

和无向图的最小生成树求法有些许差别，该外向最小生成树需要保证除根以外的每个点都至少有一条入边，即有父亲。所以考虑用堆优化的 Prim ，从 \(1\) 开始扩展，每次新加入一个点，就把该点所有出边加到堆里面，每次取最小的边加入生成树，复杂度 \(O(n\log m)\)。