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Description

给定一个无向图 \(G\)，保证该图可以划分成两个子图 \(A\) 和 \(B\)，其中 \(A\) 是一个团，\(B\) 是一个独立集。求 \(G\) 最大团的数量和最大独立集的数量。

Solution

考虑先求出最大团的大小，之后才方便计数。对于图 \(G\)，如果存在一个大小为 \(s\) 的团，那么必有度数第 \(s\) 大的点的度数大于等于 \(s-1\)。于是通过找到最大的符合的 \(s\)，我们能确定出最大团的上界。下面证明最大团仅能取上界。假若最大团大小为 \(s_0\)，满足 \(s_0<s\)。那么无论怎么选取这个最大团，都至少存在一个度数大于等于 \(s-1\) 的点不在这个最大团里，也即该点至多与该团的 \(s_0-1\) 个点有边，所以该点至少连了一个团以外的点。于是无论如何选取团 \(A\)，都不能使剩下的点成为 \(B\)，与题设矛盾。于是只能有 \(|A|=s\)，\(|B|=n-s\)。

下面考虑计数最大团数目。首先我们已经确定了一个最大团 \(A\)。所以如果有新的最大团，一定包含且仅包含一个 \(B\) 中的点（由于 \(B\) 中的点不相连，只会连向 \(A\)），且该点的度数一定为 \(s-1\) (否则不是最大团)。所以最大团数目就是 \(B\) 中度数为 \(s-1\) 的点数加一。

下面考虑计数最大独立集数目。同样是先讨论最大独立集大小，首先，显然至少是 \(|B|\)。然后再考虑能不能加 \(A\) 里面的点。如果能加，也只能加一个，因为 \(A\) 中的点都相连。\(A\) 中的点度数至少是 \(s-1\)。如果存在度数为 \(s-1\) 的点，那么说明没有 \(B\) 中的点和它相连，最大独立集大小就是 \(|B|+1\)，方案数为 \(A\) 中度数为 \(s-1\) 的点的个数。否则，说明每个 \(A\) 中的点都至少连了一个 \(B\) 中的点，那么最大独立集大小能且仅能为 \(|B|\)。接下来，如果存在度数为 \(s\) 的点，那么说明有且只有一个 \(B\) 中的点和它相连，用它替换掉与它相连的点，同样得到一个大小为 \(B\) 的独立集，此时方案数为 \(A\) 中度数为 \(s\) 的点的个数加一。否则，每个 \(A\) 中的点都至少与两个 \(B\) 中的点相连，此时替换会使独立集大小减小，于是最大独立集只能是 \(B\)，方案数为 \(1\)。