[机房测试]冒泡排序期望

Description

一个长为 \(n\) 的排列的花费是使其排好序所要冒泡的次数。

    for(int i=1;i<n;i++)
        if(a[i]>a[i+1]) swap(a[i],a[i+1]);

求随机一个长为 \(n\) 的排列，花费的期望。

Solution

一个显然的做法是枚举花费，然后统计每种花费的排列个数。根据冒泡排序的性质，每次会使得最大的没有沉底的数沉底，如果对于一个数，前面存在比它大的，那么在一次排序操作后，个数一定会减一。定义 \(f_i\) 表示在 \(i\) 前面且比 \(i\) 大的数的个数，那么一个特定排列的花费就是 \(\max\{f_i\}\)、再次观察，可以发现，\(f\) 序列和实际排列构成一个双射关系。通过平衡树可以从大到小还原排列。也就是说，我们可以直接对 \(f\) 序列进行计数。那么只需要保证 \(\forall i,f_i\leq \min(i-1,k)\) 就行了。但这样求出来的实际上是 \(\max\{f_i\}\leq k\) 的方案，需要差分一下，就可以得到

\[f(n,k)=k!((k+1)^{n-k}-k^{n-k}) \]