CF1580D Subsequence

Description

给定一个序列，选择其中 \(m\) 个数，记下标为 \(b\) 序列，最大化

\[\sum_{i=1}^m ma_{b_i}-\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m f(\min (b_i,b_j),\max (b_i,b_j)) \]

其中 \(f(i,j)\) 表示序列 \(a\) 区间 \([i,j]\) 的最小值。

Solution

首先应该观察到第一个和式里带了一个 \(m\)，非常不自然，应该是别有用心，所以可以猜测这个式子其实是有其他含义的。

发现式子可以改写成

\[\sum_{i=1}^m \sum_{j=i+1}^m (a_{b_i}+a_{b_j}-2 f(\min (b_i,b_j),\max (b_i,b_j))) \]

这个权值长得很像树上两点的距离，而发现笛卡尔树恰好满足这个性质。所以建出笛卡尔树然后 \(dp\) 即可。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

inline int read(){
    int x=0,flag=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')flag=0;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    return flag? x:-x;
}

typedef long long ll;

const int N=4e3+7;

struct Node{
    int ls,rs;
}t[N];

ll dp[N][N];
int a[N],top=0,st[N],sz[N],n,m;

void dfs(int u){
    sz[u]=1;
    if(t[u].ls){
        dfs(t[u].ls);
        const int v=t[u].ls;
        for(int i=sz[u];~i;i--)
            for(int j=0,rg=min(sz[v],m-i);j<=rg;j++)
                dp[u][i+j]=max(dp[u][i+j],dp[u][i]+dp[v][j]+1ll*j*(m-j)*(a[v]-a[u]));
        sz[u]+=sz[v];
    }
    if(t[u].rs){
        dfs(t[u].rs);
        const int v=t[u].rs;
        for(int i=sz[u];~i;i--)
            for(int j=0,rg=min(sz[v],m-i);j<=rg;j++)
                dp[u][i+j]=max(dp[u][i+j],dp[u][i]+dp[v][j]+1ll*j*(m-j)*(a[v]-a[u]));
        sz[u]+=sz[v];
    }
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read(); int ret=0;
        while(top&&a[st[top]]>=a[i])
            ret=st[top--];
        if(ret) t[i].ls=ret;
        if(top) t[st[top]].rs=i;
        st[++top]=i;
    }
    dfs(st[1]); printf("%lld",dp[st[1]][m]);
}