[AGC002F] Leftmost Ball

Description

给你 \(n\) 种颜色的球，每个球有 \(k\) 个，把这 \(n\times k\) 个球排成一排，把每一种颜色的最左边出现的球涂成白色(初始球不包含白色)，求有多少种不同的颜色序列，答案对 \(10^9+7\) 取模。

Solution

白色的点很特殊，考虑单独提出来。那么合法的方案就只需要每种颜色前都能找到一个白点与之对应，而是怎样的对应关系其实并不要紧，因为对应关系不会改变序列。所以只需要保证任意位置，白色点个数大于等于其他颜色的种数。考虑到这种限制关系，我们想到dp。

记 \(dp[i][j]\) 表示用了 \(i\) 个白球和 \(j\) 种其他颜色的所有球的方案数，要保证 \(i\geq j\)。就有转移

\[dp[i][j]=dp[i-1][j](i>j)+(n-j+1)\binom{nk-(j-1)(k-1)-i-1}{k-2}dp[i][j-1] \]

这是分别考虑在从左到右第一个空位填白色还是其他颜色。白色的话就只有唯一的方案；其他颜色的话，首先考虑是什么颜色，只剩下 \(n-j+1\) 种（因为是从 \(dp[i][j-1]\)）转移，然后第一个空位就必须填这种颜色，就剩下 \(nk-(j-1)(k-1)-i-1\) 个空位，填 \(k-2\) 个（除去第一个和一个白色）。

在第一个空位填这个决策很关键，这样保证了在这一步选不同颜色，在接下来的转移中一定不会重样，因为第一个空位被填了。这其中隐喻了一种顺序关系。