CF1554
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A. Cherry
给一个序列，求所有大小大于等于 2 的区间 min 乘 max 的最大值。
考虑增量构造。假设我们已经求得一个区间的 min 和 max，现在在其右端扩展一个数。只可能 min 变小，或者 max 变大。讨论这两种情况，min 变小肯定不优；而如果是 max 变大，考虑删除该区间左边的一些数，max 和 min 均不会变小。那么这样就得到了一个很强的结论，即最终产生的答案的区间的长度一定是 2。所以对所有 \(a_i \times a_{i+1}\) 取 max 即可。
B. Cobb
给定序列 \(a (a_i\leq n)\) 和 常数 \(k\leq 100\)，求 \(f(i,j)=i\times j-k\cdot (a_i|a_j)\) 的最大值，其中 \(i\neq j\)。
这道题的突破口在于值域，\(k\leq 100\) 和 \(a_i|a_j \leq 2n\) 都很小，但是 \(i\times j\leq n^2\) 很大，所以有一个猜想，即是说答案在 \(i\) 和 \(j\) 比较大的时候产生。先考虑考虑一个可能的答案 \(f(n,n-1)\geq n(n-1)-k\times 2n=n^2-2kn-n\)，而任何比这个值小的都不可能成为答案，又有 \(f(i,j)\leq i\times j\)（假定 \(i<j\)），要使得其成为答案，就必须 \(ij \geq n^2-2kn-n\)，那么 \(i\) 的范围就是 \([\frac{n^2-2kn-n}{j},n]\)，容易发现必须 \(i\) 和 \(j\) 都大于等于 \(n-2k\) 时，这个区间才不是空集，那么我们只需要枚举 \(O(k^2)\) 次即可。
C. Mikasa
给出 \(n,m\leq 10^9\)，求数列 \(0 \oplus n\)，\(1 \oplus n\)，\(\dots\)，\(m\oplus n\) 的 mex 。其中 \(\oplus\) 表示异或。
实质上是找出最小的 \(k\) ，使得 \(k \oplus n\geq m+1\)，考虑从高到低按位计算，记 \(n\) 当前位是 \(x\)，\(m+1\) 的是 \(y\)。
- 如果 \(x=y\) 跳过即可。
- 如果 \(x=1,y=0\) 直接结束，因为已经大于等于 \(m+1\) 了。
- 如果 \(x=0,y=1\) 则把答案异或上当前位。
D. Diane
构造一个长为 \(n\) 的串，使得每种子串均出现奇数次。
场上想复杂了。考虑一个长为 \(k\) 的串 \(aaa\dots a\)，\(k\) 是奇数，那么 \(a\)、\(aa\)、\(\dots\) 的奇偶性分别是奇、偶、\(\dots\)。\(k\) 是偶数时类似。考虑两个长为 \(k\) 和 \(k-1\) 的这样的串，中间用一个 \(b\) 连接，由于 奇+偶=奇，最终所有串都出现奇数次。这里取 \(k=\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 即是答案。注意 \(n\) 是奇数时，应用 \(bc\) 连接。
E. You
给定一棵树。每次删去一个点，这个点权值 \(a_u\) 定为与它相连且未删去的点的个数。对每个 \(k\in[1,n]\) ，求 \(gcd(a_1,a_2,\dots,a_n)=k\) 的序列个数，方案不同当且仅当 \(\{a_n\}\) 不同。
首先要把删点转换成给边定向，也就是说删去一个点就把与它相连的边指向它，权值就变成了入度。有 \(n-1\) 条边，就共有 \(2^{n-1}\) 种序列。先考虑 \(k\geq 2\) 的答案。由于 \(k \geq 2\)，所以对于叶子结点的边，只能指向父亲。那么删去这些叶子结点后，新的叶子结点的入度就一定不为 0 了，当前入度记为 \(a_u\)，儿子都已经定了，只有指向父亲的这条边还可能有贡献，最终的入度只可能是 \(a_u\) 或者 \(a_u+1\)，又由于 \(k\geq 2\) 所以 \(a_u\not\equiv a_u+1 \pmod k\)，只可能其中一个是 \(k\) 的倍数，要使得 \(k|a_u\) 那么方案是唯一的。所以对所有 \(k\geq 2\)，答案要么是 0 要么是 1。由于每条边只会有 1 的贡献，所以最终所有点的入度和一定是 n-1，又要是 \(gcd=k\)，那么每个 \(a_u\) 都是 \(k\) 的倍数，那么一定有 \(k|n-1\)。所以只需要暴力判断 \(n-1\) 的因子即可。这样就可以求出所有 \(k\geq 2\) 的答案，那么 \(k=1\) 的答案就是 \(2^{n-1}\) 减去这些的和。
