FMT/FWT

用处

处理一些位运算卷积，\(O(n2^n)\)

\[c_i=\sum_{k \oplus j=i} a_k\times b_j \]

大体思想

构造某种映射，使得能够 \(O(n\log n)\) 内得到变换，假设原数列为 \({a_n}\)，新数列就是 \({fwt[a]_i}\)。

然后知道了 \({fwt[a]_i}\) 和 \({fwt[b]_i}\)，能 \(O(n)\) 得到 \({fwt[c]_i}\)

最后还能够 \(O(n\log n)\) 将 \(fwt[c]_i\) 变换为 \(c_i\)

其实和 FFT 很像，就是解析式到点值再到解析式。

构造方法

Or

构造 \(fwt[a]_i=\sum_{j|i=i} a_j\)，也就是对 \(i\) 的所有子集求和。

这个构造有性质如下：

\[\begin{align} fwt[a]_i\times fwt[b]_i&=\sum_{j|i=i} \sum_{k|i=i} a_j\times b_k \\ &=\sum_{(j|k)|i=i} a_j\times b_k \\ &=fwt[c]_i \end{align} \]

假设现在处理完了前 \(w-1\) 位的 \(fwt[c]_i\)，考虑怎么加入第 \(w\) 位的贡献。如果一个数的第 \(w\) 位是 0 ，那么它的或卷积是不会变的，如果是 1，那么答案就要累加上最高位为 1 的卷积。然后逆变换也是类似的，只是符号反过来。

\[fwt[a]_i=merge(fwt[a_0]_i,fwt[a_0]_i+fwt[a_1]_i) \]

\(merge\) 表拼接。

void Or(int n,ll *a,bool op){
    for(int w=2,l=1;w<=n;w<<=1,l<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=w)
    for(int k=0;k<l;k++)
        a[j|k|l]=(a[j|k|l]+(op? -1:1)*a[j|k]+Mod)%Mod;
}

And

与卷积与或卷积类似，有

\[fwt[a]_i=merge(fwt[a_0]_i+fwt[a_1]_i,fwt[a_0]_i) \]

void And(int n,ll *a,bool op){
    for(int w=2,l=1;w<=n;w<<=1,l<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=w)
    for(int k=0;k<l;k++)
        a[j|k]=(a[j|k]+(op? -1:1)*a[j|k|l]+Mod)%Mod;
}

Xor

构造运算 \(x\otimes y=count(x\&y) \bmod 2\)

有性质

\[(x\otimes y) \ xor \ (x\otimes z)=x\otimes(y^z) \]

可以构造变换 \(fwt[a]_i=\sum_{i\otimes j=0} a_j-\sum_{i\otimes j=1}a_j\)

得到

\[fwt[a]_i=merge(fwt[a_0]_i+fwt[a_1]_i,fwt[a_0]_i-fwt[a_1]_i) \]

逆变时要除以 2。

void Xor(int n,ll *a,ll op){
    ll x,y;
    for(int w=2,l=1;w<=n;w<<=1,l<<=1)
    for(int j=0;j<n;j+=w)
    for(int k=0;k<l;k++)
        x=(a[j|k]+a[j|k|l])%Mod*op%Mod,
        y=(a[j|k]-a[j|k|l]+Mod)%Mod*op%Mod,
        a[j|k]=x,a[j|k|l]=y;
}