[集训队作业2013]城市规划
Link
Soluiton
令 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的连通无向图个数。
枚举连通块个数，然后递归定义
\[f_n=\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i!}\sum_{k_1+\dots+k_i=n-1} \binom{n-1}{k_1,\dots,k_i}\prod_{j=1}^{i} (2^{k_j}-1)f_{k_j}
\]
在经过尝试之后，发现单独对 \(f_n\) 来递归定义 \(\hat F(x)\) 非常不好做，因为每项系数总会多出一个 \(2^x-1\)。
考虑到这样递归定义必须考虑图的连通性，故而不太好做。转而想到直接计数无向图个数。我们令 \(g_n=2^{\binom{n}{2}}\) 表示无向图个数，还是枚举连通块个数，则
\[g_n=\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i!}\sum_{k_1+\dots+k_i=n} \binom{n}{k_1,\dots,k_i}\prod_{j=1}^{i} f_{k_j}
\]
\[\frac{g_n}{n!}=\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i!}\sum_{k_1+\dots+k_i=n} \prod_{j=1}^{i} \frac{f_{k_j}}{k_j!}
\]
那么就有
\[\frac{g_n}{n!}=[x^n]\sum_{i\geq 0}\frac{\hat F(x)^i}{i!}=[x^n]e^{\hat F(x)}
\]
\[\hat G(x)=e^{\hat F(x)}
\]
所以
\[\hat F(x)=\ln \hat G(x)=\ln\sum_{n\geq 0} \frac{2^{\binom{n}{2}}}{n!} x^n
\]
