Solution
看到恰好这一关键词，容易想到二项式反演，那么接下来就上套路。令 \(F(x)\) 表示先强制 \(k\) 对情侣和睦，剩下的人随便安排座位的方案。
\[F(x)=\binom{n}{x}^2x!2^x(2n-2x)!
\]
上式组合意义为先令其中特定 \(x\) 行是和睦的（\(\binom{n}{x}\) 种），然后选 \(x\) 对情侣分别和这些排匹配（\(\binom{n}{x}x!\) 种），一对情侣的顺序可以交换（\(2^x\) 种），剩下的人随便填（\((2n-2x)!\) 种）。
令 \(G(x)\) 表示恰好有 \(x\) 对情侣是和睦的的方案数，容易知道
\[F(x)=\sum_{i=x}^n \binom{i}{x} G(i)
\]
那么
\[G(x)=\sum_{i=x}^n (-1)^{i-x} \binom{i}{x} F(i)=\sum_{i=x}^n (-1)^{i-x} \binom{i}{x} \binom{n}{i}^2i!2^i(2n-2i)!
\]
求 \(G(x)\) 是 \(O(n)\) 的，每次询问求 \(n\) 次，总复杂度 \(O(Tn^2)\)，显然过不了，考虑优化。
将二项式系数展开成阶乘，再将无关变量提到前面，有
\[G(x)=\sum_{i=x}^n (-1)^{i-x}2^i \frac{i!n!n!i!(2n-2i)!}{x!(i-x)!i!i!(n-i)!(n-i)!}=\frac{(n!)^2}{x!}\sum_{i=x}^n (-1)^{i-x}\frac{2^i}{(i-x)!} \binom{2n-2i}{n-i}
\]
变换下指标
\[G(x)=\frac{2^x(n!)^2}{x!}\sum_{i=0}^{n-x}\binom{2n-2x-2i}{n-x-i}\frac{(-2)^i}{i!}
\]
如果把 \(n-x\) 看成一个整体，那么后面的和式就和 \(n\) 或 \(x\) 无关了，令
\[g(m)=\sum_{i=0}^m \binom{2m-2i}{m-i}\frac{(-2)^i}{i!}
\]
把所有 \(g(m)\) 处理出来，复杂度 \(O(n^2)\)，查询 \(O(1)\)。那么
\[G(x)=\frac{2^x(n!)^2}{x!} g(n-x)
\]
总复杂度 \(O(n^2+Tn)\)
\[T\leq 2\times 10^5，n\leq 5\times 10^6
\]
单次询问改为只询问一个特定的 \(k\)。
Solution
需要快速求出 \(g(m)\) ，那么最好是能 \(O(n)\) 递推。令 \(G(z)\) 是序列 \(<g(0)，g(1)，\dots>\) 的生成函数。观察到 \(G(x)\) 实际上是两个函数的卷积，
\[G(z)=\sum_{i\geq 0} \binom{2i}{i} z^i \sum_{i\geq 0} \frac{(-2)^i}{i!} z^i
\]
后面的显然是 \(e^{-2z}\) ，观察到前面的包含一个 \(\binom{2i}{i}\)，所以考虑可以由卡特兰数得到。卡特兰数是
\[C_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}
\]
其生成函数为
\[C^{\#}(z)=\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}=\sum_{i\geq 0} C_i z^i
\]
对其乘上一个 \(z\) 后再微分，实际上就是对每个 \(C_i\) 乘上一个 \(i+1\)，得到 \(\binom{2i}{i}\)
\[\sum_{i\geq 0} \binom{2i}{i} z^i=\frac{d(zC^{\#}(z))}{dz}=\frac{1}{\sqrt{1-4z}}
\]
那么
\[G(z)=\frac{e^{-2z}}{\sqrt{1-4z}}
\]
对其微分
\[G'(z)=\frac{8ze^{-2z}}{(1-4z)^{\frac{3}{2}}}=\frac{8z}{1-4z}\frac{e^{-2z}}{\sqrt{1-4z}}=\frac{8zG(z)}{1-4z}
\]
得
\[G'(z)=8zG(z)+4zG'(z)
\]
展开为幂级数
\[\sum_{i\geq 0} ig(i)z^{i-1}=8\sum_{i\geq 0}g(i)z^{i+1}+4\sum_{i\geq 0} ig(i) z^i
\]
统一幂次（注意到左边当 \(i=0\) 时，式子为 \(0\)）
\[\sum_{i\geq 0} (i+1)g(i+1)z^i=\sum_{i\geq 1}8g(i-1)z^i+\sum_{i\geq 0} 4ig(i) z^i
\]
至此，我们得到了递推式
\[g(n)=\frac{4(n-1)}{n}g(n-1)+\frac{8}{n}g(n-2) \quad (n\geq 2）
\]
以及 \(g(0)=1\) 和 \(g(1)=0\)，复杂度 \(O(n+T)\)
