CF1228E Another Filling the Grid

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Solution

不知道怎么就想到了……用 \(G(x,y)\) 表示恰好有 \(x\) 和 \(y\) 行没有 \(1\)，那么答案就是 \(G(0,0)\)

用 \(F(x,y)\) 表示强制有 \(x\) 行 \(y\) 列没有 \(1\) ，剩下的随便填的可重方案，那么

\[F(x,y)=\binom{n}{x}\binom{n}{y}k^{(n-x)(n-y)}\times k^{n^2-(n-x)(n-y)} \]

组合意义为先选 \(x\) 行 \(y\) 列没有 \(1\) ，对于这选了的部分，除去不能选 \(1\)，那么共有 \((k-1)^{n^2-(n-x)(n-y)}\) 种，对于没有选的，可以随便填数。

容易发现

\[F(x,y)=\sum_{i=x}^n \sum_{j=y}^n \binom{i}{x}\binom{j}{y}G(i,j) \]

反演一下，得到

\[G(x,y)=\sum_{i=x}^n \sum_{j=y}^n (-1)^{i+j-x-y} \binom{i}{x}\binom{j}{y} F(i,j) \]

代入 \(x=0,y=0\) ，答案即为

\[\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n (-1)^{i+j} \binom{n}{i}\binom{n}{j} k^{(n-i)(n-j)}\times k^{n^2-(n-i)(n-j)} \]

\(O(n^2\log n)\) 暴力求解即可。