[JSOI2011]分特产

Link

Solution

如果没有每个人都必须分到特产的限制的话，考虑对每个物品用插板法，表示一种物品的分配方法，每个物品的方案数乘起来就是总的方案，即

\[\prod_{i=1}^m \binom{a_i+n-1}{n-1} \]

令 \(G(x)\) 表示恰好有 \(x\) 个人没有领到特产的方案数，容易知道答案是 \(G(0)\)。令 \(F(x)\) 表示强制令其中 \(x\) 个人不选，所有物品在剩下的 \(n-x\) 个人中分配的可重方案数，容易知道有

\[F(k)=\binom{n}{k}\prod_{j=1}^m \binom{a_j+n-k-1}{n-k-1} \]

又，对于 \(F(k)\) 中的一种特定方案，如果其有 \(i\) 个人没有领到特产，容易知道这种方案在 \(F(k)\) 中被计数了 \(\binom{i}{k}\) 次，那么

\[F(k)=\sum_{i=k} \binom{i}{k} G(i) \]

所以由二项式反演可得

\[G(k)=\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} F(i) \]

代入 \(F(i)\) ，得

\[G(k)=\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} \binom{n}{i} \prod_{j=1}^m \binom{a_j+n-i-1}{n-i-1} \]

所以最后答案就是

\[G(0)=\sum_{i=0}^n (-1)^{i} \binom{n}{i} \prod_{j=1}^m \binom{a_j+n-i-1}{n-i-1} \]

对二项式系数预处理，那么剩下的式子 \(O(n^2)\) 求解即可。