[CQOI2015]多项式
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Solution
给定 \(a_k\)，\(t\) 和 \(m\) ，求使得下式成立的 \(b_m\)。
\[\sum_{k=0}^n a_k x^k=\sum_{k=0}^n b_k(x-t)^k
\]
容易想到多项式对应项系数相等，后面的直接二项式展开。
\[(*)=\sum_{k=0}^n b_k(x-t)^k=\sum_{k=0}^n b_k\sum_{i=0}^k \binom{k}{i} (-t)^{k-i} x^i
\]
考虑交换枚举顺序
\[(*)=\sum_{i=0}^n x^i \sum_{k=i}^n b_k\binom{k}{i}(-t)^{k-i}
\]
那么就有
\[a_i=\sum_{k=i}^n b_k\binom{k}{i}(-t)^{k-i}
\]
两边同乘 \(t^i\) ，再令 \(G(i)=a_i t^i\)，\(F(i)=b_i t^i\)，用 \(F\) 和 \(G\) 替换上式，得
\[G(i)=\sum_{k=i}^n (-1)^{k-i}\binom{k}{i} F(k)
\]
已经可以二项式反演了，反演后再将 \(a_k\) 和 \(b_k\) 还原回来，得到
\[b_i=\sum_{k=i}^n \binom{k}{i} t^{k-i}a_k
\]
