[2020多校联考]简单题

Solution

确实是简单题。边权和最小显然是最小生成树。对于一条非树边，加到树里面一定会构成一个环，那么环上的树边的边权就一定不能超过这条非树边。所以对最小生成树进行重链剖分，对于一条非树边 \((u_i,v_i)\) ，对链 \(u_i\to v_i\) 进行 \(modify\)，维护一个最小值。而对于一条非树边要想成为树边，就至少需要把其边权修改成这条链上树边的最大值，亦可用树剖随便维护一下。复杂度 \(O(m\log^2n)\)。

Tips

考场上空间开小了，爆成 60。以为开够了后就过了，才发现 \(m\) 是 \(1e6\)，\(n\) 是 \(1e5\)。虽然开的 \(6\) 秒，依旧过不了，只有 \(90\) 分。又想了想发现可以用树上差分加倍增做，但不想重构代码了，直接加了一个火车头过了。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
#define M 1000007
#define N 100007
#define INF 1000000000
#define lid id<<1
#define rid id<<1|1

inline char nc(){
    static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}

inline int read(){
    int x=0,flag=1; char c=nc();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')flag=0;c=nc();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=nc();}
    return flag? x:-x;
}

struct Node{
    int max1,max2;
    int tag;
}t[N<<2];

struct Line{
    int x,y,dis,pos;
    inline void in(int i){x=read(),y=read(),dis=read(),pos=i;}
    bool operator <(const Line &X) const{
        return dis<X.dis;
    }
}L[M];

struct E{
    int next,to;
}e[N<<1];
int head[N],cnt=0,n,m,fa[N];
int dep[N],sz[N],seg[N],top[N],in[N],son[N],D_[N];

inline void add(int id,int to){
    e[++cnt]=(E){head[id],to};
    head[id]=cnt;
}

inline int find(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}

inline void dfs1(int u){
    sz[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u]) continue;
        fa[v]=u,dep[v]=dep[u]+1;
        dfs1(v);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
    }
}

inline void dfs2(int u,int tp){
    in[u]=++cnt,top[u]=tp;
    seg[cnt]=L[D_[u]].dis;
    if(!son[u]) return ;
    dfs2(son[u],tp);
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

inline int max(int x,int y){return x>y? x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y? x:y;}
inline void swap(int &x,int &y){x^=y,y^=x,x^=y;}

inline void update(int id){
    t[id].max1=max(t[lid].max1,t[rid].max1);
    t[id].max2=max(t[lid].max2,t[rid].max2);
}

inline void build(int id,int lf,int rf){
    t[id].tag=INF;
    if(lf==rf){
        t[id].max1=seg[lf];
        t[id].max2=INF;
    }else{
        int mid=(lf+rf)>>1;
        build(lid,lf,mid);
        build(rid,mid+1,rf);
        update(id);
    }
}

inline void pushup(int id,int val){
    t[id].max2=min(t[id].max2,val);
    t[id].tag=min(t[id].tag,val);
}

inline void pushdown(int id){
    pushup(lid,t[id].tag);
    pushup(rid,t[id].tag);
    t[id].tag=INF;
}

int l,r,val;
inline void modify(int id,int lf,int rf){
    if(l<=lf&&rf<=r)
        pushup(id,val);
    else{
        int mid=(lf+rf)>>1;
        if(t[id].tag!=INF) pushdown(id);
        if(l<=mid) modify(lid,lf,mid);
        if(r>mid) modify(rid,mid+1,rf);
        update(id);
    }
}

inline void modify_path(int u,int v){
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        l=in[top[u]],r=in[u],modify(1,1,n);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    l=in[u]+1,r=in[v],modify(1,1,n);
}

inline int query(int id,int lf,int rf,int op){
    if(l<=lf&&rf<=r)
        return op==1? t[id].max1:t[id].max2;
    else{
        int mid=(lf+rf)>>1,ret=0;
        if(t[id].tag!=INF) pushdown(id);
        if(l<=mid) ret=max(ret,query(lid,lf,mid,op));
        if(r>mid) ret=max(ret,query(rid,mid+1,rf,op));
        return ret;
    }
}

inline int query_path(int u,int v,int op){
    int ret=0;
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        l=in[top[u]],r=in[u],ret=max(ret,query(1,1,n,op));
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    l=in[u]+1,r=in[v];
    return max(ret,query(1,1,n,op));
}

int ans[M];
bool vis[M];
int main(){
    freopen("easy.in","r",stdin);
    freopen("easy.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(register int i=1;i<=m;i++) L[i].in(i);
    sort(L+1,L+1+m);
    int ret=0;
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int u=L[i].x,v=L[i].y;
        int fa_x=find(u),    
            fa_y=find(v);
        if(fa_x==fa_y) continue;
        fa[fa_x]=fa_y;
        add(u,v),add(v,u);
        vis[i]=1;
        if((++ret)==n-1) break;
    }
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    cnt=0,fa[1]=1,dep[1]=1,dfs1(1);
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        if(!vis[i]) continue;
        if(dep[L[i].x]>dep[L[i].y]) D_[L[i].x]=i;
        else D_[L[i].y]=i;
    }
    dfs2(1,1); build(1,1,n);
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        if(vis[i]) continue;
        val=L[i].dis;
        modify_path(L[i].x,L[i].y);
        ans[L[i].pos]=query_path(L[i].x,L[i].y,1);
    }
    for(register int i=1;i<=m;i++)
        if(vis[i]) ans[L[i].pos]=query_path(L[i].x,L[i].y,2);
    for(register int i=1;i<=m;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
}