疑惑核
2020.10.31
题目描述
求异或和 \(1\leq a,b\leq 2^{63}-1\),答案对 \(23333333333333333\) (质数)取模
解法
先转换为前缀做差,设 \(f(x)\) 表示 \([0,x]\) 的数的异或和。答案就是 \(f(b)-f(a-1)\)
因为是异或,不同位间不会产生影响,所以考虑把每一位分开算贡献。若 \(c\) 的第 \(i\) 位是 \(v_i\),那么贡献就是 \(a\) 到 \(b\) 的所有数中第 \(i\) 位是 \(v_i\ xor \ 1\) 的数的出现次数乘上 \(1<<i\) 。
求 \(f(x)\)。记 \(ned=v_i \ xor \ 1\),\(lim\) 表示 \(x\) 的第 \(i\) 位是多少,则 \(lim=(x>>i)\&1\)。可以分三种情况快速求出每一位需要的值的个数:
- \(ned=lim\)。那么此时第 \(i\) 位取到上限,若第 \(i\) 位之前的都取到上界(1种),则后面的数都不能超过上界,贡献为后面的数个个数加一(有0),即 \(x-((x>>i)<<i)+1\),总的贡献为 \((x-((x>>i)<<i)+1)\times(1<<i)\)
- \(ned=1,lim=0\)。若前面取到上界,那么当前为就取不到 \(1\),那么前面一定不能取上界,因此后面的数就可以随便取。前面的贡献是 \((x>>(i+1))\),后面的贡献是 \(1<<i\) ,根据乘法原理总的贡献是 \((x>>(i+1))\times(1<<i)\times(1<<i)\)
- \(ned=0,lim=1\)。前面的只要不超过上界就行了,贡献为 \((x>>(i+1))+1\) (有0),因为第 \(i\) 位要取 \(0\),就没有达到上界,后面的可以随便取。总的贡献为 \(((x>>(i+1))+1)\times(1<<i)\times(1<<i)\)。
时间复杂度 \(\Theta(\log n)\)
Tips
这是一个恶心的模数,边模边乘都会爆,从 \(100\) 炸到 \(10\),需要加上龟速乘。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long
#define Mod 23333333333333333LL
int T;
LL a,b,c;
LL Mul(LL x,LL y){
LL ret=0,len=0;
while(y>=(1LL<<len)){
if(y&(1LL<<(len++))) ret=(ret+x)%Mod;
x=(x+x)%Mod;
}
return ret;
}
LL calc(LL x){
LL ans=0;
for(int i=0;i<63;i++){
int lim=(x>>i)&1LL,ned=((c>>i)&1LL)^1LL;
if(lim==ned){
LL ret=(x-((x>>i)<<i)+1LL)%Mod;
ret=(ret+Mul((x>>(i+1))%Mod,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
ans=(ans+Mul(ret,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
}else if(lim){
LL ret=Mul(((x>>(i+1))+1)%Mod,(1LL<<i)%Mod);
ans=(ans+Mul(ret,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
}else{
LL ret=Mul((x>>(i+1))%Mod,(1LL<<i)%Mod);
ans=(ans+Mul(ret,(1LL<<i)%Mod))%Mod;
}
}
return ans;
}
int main(){
freopen("sum.in","r",stdin);
freopen("sum.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
printf("%lld\n",((calc(b)-calc(a-1))+Mod)%Mod);
}
}
/*
1
30217346 1530633997 1331237392
*/