数列

2020.9.5

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题目描述

对于数列

\[\begin{cases}x_0=1\\x_n=ax_{n-1}+b\end{cases} \]

当 \(n \to \infty\) 时，是否有 \(x_n \to \infty\) ？输出 "yes" 或 "no" 。

\(a\) 和 \(b\) 以 \(A\) 和 \(B\) 的形式给出，其中 \(a=\frac{A}{10^9},b=\frac{B}{10^9}\)

解法

分类讨论。

若 \(a=1\) ，那么 \(x_n\) 取无穷当且仅当 \(b\neq 0\) 。

若 \(a \neq 1\) ，

\[x_n=a^n+b \cdot \frac{1-a^n}{1-a} \]

记常数 \(c=\frac{b}{1-a}\) ，则原式为

\[x_n=(1-c)\cdot a^n+c \]

可以看到若 \(|a|<1\) 或 \(a=-1\) 那么 \(x_n\) 显然不为无穷。再者若前面系数 \(1-c=0\) ，化简即 \(a+b=1\) 时，则有 \(x_n=c\)

其余情况均有解。